Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über das reguläre vierdimensionale Fünf zell.

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Ausgegangen ist von vier Punkten, a1? b1; c1; d1} die beliebig auf vier
Kanten, die von einem Punkte ausgehen, gewählt sind. Diese
vier Punkte ergeben ein bestimmtes unregelmäßiges Tetraeder. Bei
paralleler Verschiebung unter Vergrößerung des Tetraeders fällt
zunächst einer der Punkte (d2) mit einem Eckpunkt (E) des
Fünf zell s zusammen. Die weitere Parallel Verschiebung verwandelt
diesen Punkt in ein bestimmtes Dreieck (e3, /3, p3), so daß ein
schiefes stehendes dreiseitiges Prisma (ct3, fe3, c3, e3, /3, </3) ent-
steht. Bei weiterer Verschiebung fallen die beiden Punkte a3
und e3 mit dem Endpunkt C zusammen. Es entsteht eine liegende
vierseitige Pyramide (fe4, c4, g4, /4, C) mit C als Spitze. Weitere
Verschiebung führt zu zwei Punkten (b5, i5) an Stelle von C. Es
entsteht wieder ein schiefes, in der Figur jetzt aber liegendes drei-
seitiges Prisma (fe5, h5, i5, c5, f5, g5). Dann folgt wieder ein Tetraeder
(D, fe6, fe6, /6), das dann kleiner wird (fe7, fe7, Zc7, /7) und schließlich
in dem Punkt B zusammenschrumpft. Die fünf charakteristischen
Schnittkörper sind in der Figur nochmals skizziert. Auf eine Kon-
struktion in richtigen Dimensionen ist in diesem Fall verzichtet.
Von besonderem Interesse ist es, daß sich auch leicht ebene
Schnittkörper durch das Fünfzell legen lassen, deren Ecken in der
Projektion auf eines der Grenztetraeder sämtlich in einer Ebene
liegen. Derartige Schnitte lassen sich konstruieren, wenn man
eine Ebene durch die Projektion des Fünfzells auf ein bestimmtes
Grenztetraeder legt. Diese hat drei oder vier Schnittpunkte mit den
Kanten des Grenztetraeders und einen, zwei oder drei Schnittpunkte
mit den im Innern liegenden projizierten Kanten anderer Grenz-
tetraeder. Diese Punkte stellen zusammen aber ein körperliches
Gebilde dar. Wählt man nämlich ein anderes Grenztetraeder als
Projektion des Fünfzells, so liegen die Schnittpunkte auf den Kanten,
nicht mehr wie in dem ersten zur Projektion verwendeten Grenz-
tetraeder in einer Ebene sondern im Raume. Ein solcher körperlicher
Schnitt durch das Fünfzell, der auch leicht in richtigen Abmessungen
konstruiert werden kann, liegt also in der senkrechten Projektion
auf das eine Grenztetraeder in einer Ebene. Es ist das analog dem,
daß eine ebene Schnittfigur projiziert für gewöhnlich -wieder eine
solche, in besonderem Falle aber auch eine Gerade ergeben kann.
Auch andere geometrische Konstruktionen lassen sich nach
dem Auseinandergesetzten meist unschwer durchführen. Es soll
darauf aber nicht weiter eingegangen werden.
Wenn in dem Vorstehenden gezeigt ist, daß es ein vierdimen-