Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten usw. 5

die ganze Zahl
(7)

i = n

i — 1


ist der Grad von /(P) und also die Ordnung unserer Differential-

gleichung (5).
Die Funktion
(8)



ist eine ganze Funktion von P, das heißt Element unseres Integritäts-
bereiches I', also ist der Differentialausdruck
(9) z=f^D)y
Element des Integritätsbereiches Iy . d. h. ein linearer Differential-
ausdruck vom Typus (1), und zwar von der Ordnung M—1.
Die Differentialgleichung (5) läßt sich jetzt auffassen als lineare
Differentialgleichung für z
(10) (P— Z0 z = ip(x\
Auf Grund der Identität

(11) eh^P(e“21^) = (P — Zjs
stellt sich die allgemeine Lösung von (10) sofort in der Form dar
X
(12) z = e*iX ft (u) du.
a
Erinnern wir uns der durch (9) gegebenen Bedeutung von 2, so
sind wir also auf eine Differentialgleichung
X
(13) ,/i(7))// = eXlXje~XlU ip(u) clu
a
geführt, welche denselben Typus hat wie (5), aber eine um 1 er-
niedrigte Ordnung, während in die rechte Seite eine Integrations-
konstante eingetreten ist.
Die Wiederholung dieses Verfahrens liefert uns, ohne jede Theorie,
die allgemeine Lösung von (5), und es gibt vielleicht keinen Weg,
welcher dieses Ziel mit geringerer Mühe zu erreichen gestattet.

Um zu allgemeinen Ergebnissen zu gelangen und im besonderen
die bekannten Sätze der Theorie zu gewinnen, betrachten wir zunächst