Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Karl Boehm:

den Fall, in welchem die rechte Seite der Differentialgleichung (5)
die Gestalt hat
i = p
(14) (^) Z7i (a^) gZ1Z + (a?) e V [qi i Xj
t = 2

und g1{x\ gz(%), • • • irgendwelche ganze rationale Funktionen von x
bedeuten. Warum hier das Glied mit dem Exponentialfaktor eZlx von
den ganz gleichartigen Summanden mit eV =(= ^i) abgetrennt worden
ist, leuchtet ein, sobald man den Ausdruck für ip(gx) in (13) einführt.
Es ergibt sich
i = p
(!5) G-l (a*) e'-'x + g^x) e^x,
worin
_ _ g’iW , g"iW _
((*» Zx) ({?«—-M“ (?■«—X],)3
und

(17)


Für das Folgende sind zwei offenbare Tatsachen wichtig:
1. Der Grad der Funktion Gr (a) ist um 1 höher als der von
g^xy, der Koeffizient von a?° in Gyx} ist die bei der Auflösung der
linearen Differentialgleichung (10) eintretende Integrationskonstante.
2. Der Grad jeder Funktion g^x) ist gleich dem Grade der ent-
sprechenden Funktion gr(x\ und es sind nicht nur die Koeffizienten
/i der Funktion ^-(a) durch die Koeffizienten der Funktion t/i(a),
sondern auch umgekehrt diese durch jene vermöge des Zusammen-
hanges (16) eindeutig bestimmt.

Nr. 4. — Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung.
Diese beiden Bemerkungen lassen uns die Gestalt der allgemeinen
Lösung einer homogenen Differentialgleichung erkennen.
Der erste, durch die Formel (13) bezeichnete Schritt liefert uns
nämlich, für </)(a)z-“0, das Ergebnis
(is) =
Ist y eine m1-fache Wurzel von t/’(P), so finden wir durch
Wiederholung desselben Verfahrens, auf Grund der Bemerkung 1, daß