Über lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten usw. 7
Ist nun noch eine andere Wurzel Z2 vorhanden, so können
die soeben erhaltene Gleichung als lineare Differentialgleichung
Bestimmung der Funktion
(D —z2) (n —
y auffassen:
wir
zur
(19a) (D-y ((g_4((p_/ir *1 + •.■■ + /D
Die rechte Seite hat die durch (14) gegebene Gestalt; nur spielt
jetzt die Zahl der Wurzel Z2 gegenüber die Rolle, welche in der
vorhergehenden Betrachtung einem gegenüber der damals aus-
gezeichneten Wurzel zukam.
Wir finden also
(20) - v = + ^”-2
und unsere zweite Bemerkung läßt uns erkennen, daß zu jedem
Koeffizientensystem ft ein Koeffizientensystem ft eindeutig bestimmt
werden kann, daß also, wenn die ft willkürliche Konstanten waren,
dasselbe von den gesagt werden kann.
So fortfahrend, gelangen wir zu dem Ausdruck
(21) - --. y = («V^2-1 + • • • + -1)
v 7 ^2)—Z2)w’’(D—z1)w*‘/ vo 2 7
und schließlich zu der allgemeinen Lösung unserer homogenen Diffe-
rentialgleichung :
i = n
(22) (P-V* .* = * = c'""’
i = 1
worin ein Polynom vom Grade im — 1 mit willkürlichen
Koeffizienten bezeichnet.
Nr. 5. — Lösung der inhomogenen Differentialgleichung, wenn f (£))
eine einzige Wurzel vom Grade rrp besitzt.
Die Wiederholung der durch die rechte Seite von (13) ausge-
drückten Operation führt uns zu dem Ergebnis
/(Z>)
(p—zj». y -
(p (yiP) du.
(23)
anii—i
Ist nun noch eine andere Wurzel Z2 vorhanden, so können
die soeben erhaltene Gleichung als lineare Differentialgleichung
Bestimmung der Funktion
(D —z2) (n —
y auffassen:
wir
zur
(19a) (D-y ((g_4((p_/ir *1 + •.■■ + /D
Die rechte Seite hat die durch (14) gegebene Gestalt; nur spielt
jetzt die Zahl der Wurzel Z2 gegenüber die Rolle, welche in der
vorhergehenden Betrachtung einem gegenüber der damals aus-
gezeichneten Wurzel zukam.
Wir finden also
(20) - v = + ^”-2
und unsere zweite Bemerkung läßt uns erkennen, daß zu jedem
Koeffizientensystem ft ein Koeffizientensystem ft eindeutig bestimmt
werden kann, daß also, wenn die ft willkürliche Konstanten waren,
dasselbe von den gesagt werden kann.
So fortfahrend, gelangen wir zu dem Ausdruck
(21) - --. y = («V^2-1 + • • • + -1)
v 7 ^2)—Z2)w’’(D—z1)w*‘/ vo 2 7
und schließlich zu der allgemeinen Lösung unserer homogenen Diffe-
rentialgleichung :
i = n
(22) (P-V* .* = * = c'""’
i = 1
worin ein Polynom vom Grade im — 1 mit willkürlichen
Koeffizienten bezeichnet.
Nr. 5. — Lösung der inhomogenen Differentialgleichung, wenn f (£))
eine einzige Wurzel vom Grade rrp besitzt.
Die Wiederholung der durch die rechte Seite von (13) ausge-
drückten Operation führt uns zu dem Ergebnis
/(Z>)
(p—zj». y -
(p (yiP) du.
(23)
anii—i