Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

8

Karl Boehm:

Da nun zwei Lösungen der Differentialgleichung (5) sich nur
um eine Lösung der homogenen Differentialgleichung
(24) /)/>)«/= 0
unterscheiden, deren allgemeinste Gestalt wir bereits kennen (Nr. 4), so
genügt es uns, wenn wir irgendeine Lösung der Differentialgleichung
(5) anzugeben vermögen. Wir dürfen daher in (23) die unteren
Grenzen der Integrale einander gleich annehmen und setzen
(25) = <^2 — • • • — — x = = CI.
Dann aber läßt sich nach einer bekannten Formel das w1-fach
iterierte Integral in (23) durch ein einfaches Integral ersetzen, und
wir erhalten die Darstellung
X
(26) y =!e>'Ax~u) Vdu + e'AXw^
a
worin wx(a?) eine willkürliche ganze Funktion vom Grade —1
bezeichnet.

Nr. 6. — Lösung der allgemeinen inhomogenen Differentialgleichung.

Besitzt nun f(D) noch eine andere Wurzel Z2 von c^er Vielfach-
heit m2, so ergibt sich auf dieselbe Weise:

(27)

_/(D)_= C (x—xj"'* 1
(Z>—Z2)^ (D —V'’« !/ ~ I (w2—1)1
cc
+ eUx (x) + eA2X '^2(^),

g/i2(a: ».) _l

worin w-^x) und w^x') willkürliche Polynome von den Graden —1
und m2—1 sind, während
X
/( t)\ r

(28) yr (x) = y («0 — ehx «’1(^)= J u'q ! - e^x~u}
a
eine Abkürzung für das bestimmte Integral auf der rechten Seite
von (26) ist.
Das Doppelintegral auf der rechten Seite von (27) bezeichnen
wir mit y2(x). Es gestattet die folgende Umformung:

(29)

X

a


■1)!