Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die eindeutige Bestimmtheit der Integrale von Differentialgleichungen. 7

Wäre nun die Ungleichung (9) für ein s>0 nicht in dem gan-
zen Intervall ? x + a richtig, so gäbe es eine untere Grenze
(?^?i<? + a) der Zahlen x2g<j, für die (9) falsch ist. Da (9) für
x — £ richtig ist, wäre dann wegen der Stetigkeit der Funktionen
(10) «>(?!) =
und

(11)


Da <l>(x) und 6(x,s) die Relationen (5) und (8) erfüllen, würde aus (11)
2 &,*)) + *,
also wegen (10)
folgen, d. h. es wäre entgegen unserer Voraussetzung s 0, womit
der gewünschte Widerspruch erreicht ist.
Zusatz 1: Gelten die V oraussetzungen des Hilfssatzes
für das Intervall £—a^x^<£ statt ^^x^? + a und ist<f>(x)
in dem Intervall eine stetige und nach links differenzier-
bare Funktion, für die statt (5) die Ungleichung

(5 a)
gilt, so ist
(7 a)
(DL (x) 2 (x, 0 (x))
O(x)^<p(x) für £— a^x^i;,

wenn jetzt (x) die durch £ gehende minimale Integral-
kurve von (6) bedeutet.
Der Beweis hierfür ist fast wörtlich der gleiche wie für den Satz
selber. In entsprechender Weise ergibt sich auch der
Zusatz 2: Der Satz 1 bleibt auch richtig, wenn man

(5) durch
(5+)
$+ (x) Q (x, 0> (x))

und zugleich maximal durch minimal und (7) durch

(7*)
(x) 6 (x)

ersetzt. — Ebenso bleibt der Zusatz 1 richtig, wenn man

(5a) durch
(5 a*)
(x) 2 (x, (x)),

minimal durch maximal und (7a) durch

(7 a*)
<b (x) < (x)

ersetzt.