Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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E. Kamke:

auch wesentlich von der speziellen Bauart des mit der Differential-
gleichung n-ter Ordnung äquivalenten Systems von Differentialglei-
chungen erster Ordnung Gebrauch gemacht wird.
2. Die Grundlage bilden zwei allgemeine Abschätzungssätze.
Satz 1: Es sei Q (x, z) stetig in dem abgeschlossenen
Gebiet
+ — c»<z<+oo
und 0 (x) eine für ?^x^^+a stetige und nach rechts
differenzierbare Funktion, für die
(5) <T>'+ (x) A Q (x, <F (x))
gilt. Ferner existiere die durch den Punkt
gehende maximale Integralkurve z = tp (x) der Differen-
tialgleichung
(6) z' = Q (x, z)
in dem ganzen Intervall £^x5S‘£-)-a. Dann ist
(7) <b(x)5S6(x) für ?^x^? + a.
Beweis: Für alle hinreichend kleinen positiven s hat die Dif-
ferentialgleichung
(8) z' = Q (x, z) + e
Integralkurven y = <p (x, s), die durch den Punkt £, £ gehen und für
? x 5 + a existieren; diese erfüllen die Relation
lim <p (x, s) = 6 (x)* 1).
e-> o
Daher genügt es, die Ungleichung
(9) O (x) <p (x, s)
für jedes s > 0 und solche Integrale <p (x, s) zu beweisen, die in dem
ganzen Intervall '£AxAc+a existieren.

q Vgl. z. B. Kamke. Differentialgleichungen reeller Funktionen, Leipzig
1930, S. 83. Um aus dem dort bewiesenen Satz die oben benötigte Tatsache
folgern zu können, erweitere man den Definitionsbereich von Q (x, z) auf die
ganze x, z-Ebene, indem man

Q (x, z) =

| Q (£, z) für x <A
i Q (£ + a, z) für x > £ + a

setzt.