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https://doi.org/10.11588/diglit.43616#0005
Über die eindeutige Bestimmtheit der Integrale von Differentialgleichungen. D
Sind nun
fi (x, yx, • • •, yn), • • • Jn (x, yx, • •yn)
Funktionen, die in dem Bereich
(1) x —[ < a, | yx —-<)! | < b,..., | yn — TQn | < b
definiert sind und die Ungleichungen
(3) | fv (x, yx,.... yn) — fv (x, yx,..y„) i U Q (i x — £ |, z)
für
m z = Max |yK —yjr|
und v = 1,..n erfüllen, so hat das System (S) in dem Be-
reich (1) höchstens eine durch den Punkt Y)x...., Y)n gehe nd e
Integralkurve.
Für n = 1 ist das Kriterium II in I enthalten. Für n > 1 ist
dagegen in I nur eine modifizierte Form Ila des Kriteriums II ent-
halten, deren Wortlaut aus dem Wortlaut II entsteht, wenn man die
Relationen (3) und (4) durch
n
(3a) I • • - y»)—fv • • ■’ w) I ö (Ix—£ l ,z)
V = 1
und
n
(4a) z = JT I yv — yv |
V = 1
ersetzt.
Nachträglich sehe ich, daß sich mit der gleichen Beweismethode,
die das Kriterium I lieferte, noch ein allgemeineres Eindeutigkeits-
kriterium ableiten läßt, das u. a. als Spezialfall den genauen Wort-
laut II enthält und zugleich zeigt, daß auch in I die Ungleichung (2)
durch die n Ungleichungen (3) mit der durch (4) festgelegten Bedeu-
tung von z ersetzt werden kann1). Das Kriterium enthält überhaupt
mit geringen Ausnahmen alle bisher bekannten Eindeutigkeitskriterien 2),
soweit sie nicht auf speziellere Systeme von Differentialgleichungen
zugeschnitten sind. Insbesondere scheint das für eine Differential-
gleichung n-ter Ordnung von Herrn Nagumo3) angegebene Ein-
deutigkeitskriterium in ihm nicht enthalten zu sein, bei dessen Beweis
x) Diese letzte Tatsache ist inzwischen (auf andere Weise) auch von Herrn
Nagumo [Japanese Journal of Mathematics 7 (1930) 158] bewiesen.
2) Näheres darüber findet man am Schluß dieser Arbeit.
3) Japanese Journal of Mathematics 4 (1927) 307—309. Vgl. auch Fuku-
hara, ebenda 6 (1930) 289.
Sind nun
fi (x, yx, • • •, yn), • • • Jn (x, yx, • •yn)
Funktionen, die in dem Bereich
(1) x —[ < a, | yx —-<)! | < b,..., | yn — TQn | < b
definiert sind und die Ungleichungen
(3) | fv (x, yx,.... yn) — fv (x, yx,..y„) i U Q (i x — £ |, z)
für
m z = Max |yK —yjr|
und v = 1,..n erfüllen, so hat das System (S) in dem Be-
reich (1) höchstens eine durch den Punkt Y)x...., Y)n gehe nd e
Integralkurve.
Für n = 1 ist das Kriterium II in I enthalten. Für n > 1 ist
dagegen in I nur eine modifizierte Form Ila des Kriteriums II ent-
halten, deren Wortlaut aus dem Wortlaut II entsteht, wenn man die
Relationen (3) und (4) durch
n
(3a) I • • - y»)—fv • • ■’ w) I ö (Ix—£ l ,z)
V = 1
und
n
(4a) z = JT I yv — yv |
V = 1
ersetzt.
Nachträglich sehe ich, daß sich mit der gleichen Beweismethode,
die das Kriterium I lieferte, noch ein allgemeineres Eindeutigkeits-
kriterium ableiten läßt, das u. a. als Spezialfall den genauen Wort-
laut II enthält und zugleich zeigt, daß auch in I die Ungleichung (2)
durch die n Ungleichungen (3) mit der durch (4) festgelegten Bedeu-
tung von z ersetzt werden kann1). Das Kriterium enthält überhaupt
mit geringen Ausnahmen alle bisher bekannten Eindeutigkeitskriterien 2),
soweit sie nicht auf speziellere Systeme von Differentialgleichungen
zugeschnitten sind. Insbesondere scheint das für eine Differential-
gleichung n-ter Ordnung von Herrn Nagumo3) angegebene Ein-
deutigkeitskriterium in ihm nicht enthalten zu sein, bei dessen Beweis
x) Diese letzte Tatsache ist inzwischen (auf andere Weise) auch von Herrn
Nagumo [Japanese Journal of Mathematics 7 (1930) 158] bewiesen.
2) Näheres darüber findet man am Schluß dieser Arbeit.
3) Japanese Journal of Mathematics 4 (1927) 307—309. Vgl. auch Fuku-
hara, ebenda 6 (1930) 289.