Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

E. Kamke:

3. Bei dem Satz 1 hätte für den Beweis c = 0, £ = 0 gewählt
werden dürfen. Von dieser Vereinfachung in der Formulierung machen
wir bei der folgenden Verschärfung des Satzes 1 Gebrauch. Die
Verschärfung besteht darin, daß die Funktion Q(x,z) auf der Geraden
x = £ (oder in der folgenden Formulierung x = 0) nicht definiert, also
erst recht nicht stetig zu sein braucht.
Satz 2: Es sei ö (x,z) stetig in dem offenen Gebiet
0 "V x a, — co z ~j- co*
Die Funktion / (x) sei für 0Ax<a differenzierbar mit
den Werten /JO) = (0) = 0 und erfülle in dem offenen
Intervall 0<x<a die Differentialgleichung
(12) z' = Q(x,*z),
und zwar sei %(x) eine maximale Funktion dieser Art1).
Endlich sei O(x) eine für0<x<a sowohl nach rechts
wie nach links differenzierbare Funktion, für die <f>(0)=0,
<f>'(0)A0 und2)
(13) d4(x) A Q (x, <1> (x)) f ür 0 < x < a
gilt. Dann ist
(14) <l> (x) fS/Jx) für 0sSx<a.
Beweis: Angenommen, die Behauptung sei falsch. Dann gibt
es, da sie für x = 0 sicher richtig ist, ein 0 < £ < a, so daß
ist. Durch den Punkt £, £ gibt es eine, noch ein gewisses Stück links
von existierende, minimale Integralkurve y =6(x) der Differential-
gleichung (12). Aus dem Zusatz 1 des Satzes 1 folgt
(15) d> (x) A <p (x)
für 0<x^^, soweit <p (x) in diesem Intervall existiert. Ferner ist,
soweit cp (x) in diesem Intervall existiert, auch
(16) 4(x)>/(x),
1) Das soll folgendes bedeuten: Für jedes 0<a<;a und jede Funktion
y (x), die für 0 x < q differenzierbar ist, die Werte y (0) = y' (0) = 0 hat und
in dem offenen Intervall 0 < x < a die Differentialgleichung (12) erfüllt, gilt
y (x) <1 y (x) für 0 x < a.
2) Es genügt, (13) für statt <I>J zu fordern. Mit Rücksicht auf die
leichtere Formulierung der Zusätze ist jedoch die Ungleichung des Textes ge-
fordert.