Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die eindeutige Bestimmtheit der Integrale von Differentialgleichungen. 13

also nach dem durch die Fußnote ergänzten Satz 3 mit S(n) = u
9 (x) — <? (x) Z (x — = °,
also wegen (24)
Da 9 und 9* bei unseren Überlegungen ihre Rollen vertauschen dürfen,
ist auch
® (x) 9* (x),
also 9 (x) = 9* (x).
Herr M. Müller1) hat die Eindeutigkeit bei dem System (S) für
unter der Voraussetzung bewiesen, daß für eine Konstante
0 < k < I die Funktionen fv die Bedingung
(25) fvCx,^,...., yn) —fv(x,Vi, yn)^ ——y- Max (yx —yx)
X ’ ^0 Z=
für yv^yv erfüllen. Dieser Satz läßt sich dem Satz 2 einordnen,
aus dem ja der Satz 3 als unmittelbare Folge entsprang. Gäbe es
nämlich durch den Punkt . ., ?)n zwei verschiedene Integral¬
kurven

(26) yx = 9X (x),. .yn = 9n (x) und yx = ?x (x), . . ., yn = 9n (x),

so könnte man die Bezeichnung so wählen, daß

0 (x) = Max (9v (x) — 9v (x))
v= 1, ..., n
an einer Stelle x0 positiv ist. Da die Integralkurven (26) für x = <-0
durch den gleichen Punkt gehen, also 0 (Ho) -■ 0 ist, gäbe es ein den
Punkt x0 enthaltendes Intervall £^x<a mit

(27)
so daß
(28)

0 (x)

j>0 für £ < x < a,
| = 0 für x = c

gilt. Für £<x<a würde aus (25) folgen2)

0' (x) = Max jfv (x, 9X, . . ., 9n) — fv(x,9x, .. ., 9n)j
V = 1, . . ., 11
X-<0

D Diese Berichte. Jahrgang 1927. 9. Abhandlung, S. 29.
2) Vgl. M. Müller, a. a. O., S. 17f.