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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0008
8
Heinrich Kapferer:
^4 + 1 /.(
• 9y ~~ fy ‘ 9x) ' 9o + 0 (U ~ ö) , 9),
während gleichzeitig
(U + l jU—1
(fx -gy — fy 9x) go = o ((#- aj , g) ist.
Die Anwendung des Satzes (5) auf das Polynompaar J(x,y\ g(pc,y')
ergibt also die Richtigkeit1) der Behauptung (6).
Von Satz (6) gilt auch die Umkehrung:
(10)
Für jeden gemeinsamen Punkt P von f—0, ,9 = 0 gilt —
stets unter den Voraussetzungen (1) — der Satz:
Wenn der Rang des Punktes P in bezug auf J, g gleich x
ist, x > 0, so ist der Rang des Punktes P in bezug auf f, g
gleich x + 1.
Denn Punkt P ist nach Voraussetzung gemeinsamer Punkt von
/'=0, 9=0, also ist sein Rang s größer als Null; dann folgt aus (6),
daß der Rang von P in bezug auf V, g gleich s—1 ist; es muß also
s — 1— x sein, wie in (10) behauptet wird.
Die Sätze (6) und (10) zusammengenommen bilden aber genau den
Inhalt der Satzes (3). Mit (3) ist aber auch das Kriterium (2) be-
wiesen.
Wir wenden den Satz (2) auf das Problem II an.
Dazu einige Vorbemerkungen über die oben definierten Polynome
J(r) (rr, y). Die Koeffizienten der Potenzprodukte xa yß in den Poly-
nomen J(V) sind, ihrer Definition nach, selbst Polynome in den Un-
bestimmten A und P. Wir wollen dies jetzt auch in der Bezeichnung
J(v) (x> y> A, -^) andeuten. Aus der Definition der J(v) ergibt sich ferner,
daß sie sämtlich linear sind in den Koeffizienten A des Polynoms F,
dagegen nicht linear in den Koeffizienten B von Gr, sobald v > 1 ist.
Nun substituieren wir die festen Koeffizienten F' des Grundpolynoms g
an die Stelle von B, und setzen folgende /z Gleichungen in den A an,
wo y jene vorgeschriebene Zahl aus dem Problem II ist.
(11) <F(o) (a, ß, A, Bf) — 0;...; (a,/?, A,R') = 0.
Die Gleichungen (11) stellen lineare homogene Bestimmungs-
gleichungen für die Koeffizienten A dar, da ja a, ß und B' fest gegebene
Werte sind.
*) Der Satz (5) ist nur anwendbar, wenn die beiden Polynome, hier J und g,
teilerfremd sind. Daß letzteres der Fall ist, folgt aus:
(U + l y—1
J• go = (x — a) • k (x, y) modg mit k (a, /?) f 0; g (a, ß) = 0; g (x, y) X— ar
weil sonst im Widerspruch mit (1) wäre g (a y) = 0 (y — ß)2; g = irreduzibel.
Heinrich Kapferer:
^4 + 1 /.(
• 9y ~~ fy ‘ 9x) ' 9o + 0 (U ~ ö) , 9),
während gleichzeitig
(U + l jU—1
(fx -gy — fy 9x) go = o ((#- aj , g) ist.
Die Anwendung des Satzes (5) auf das Polynompaar J(x,y\ g(pc,y')
ergibt also die Richtigkeit1) der Behauptung (6).
Von Satz (6) gilt auch die Umkehrung:
(10)
Für jeden gemeinsamen Punkt P von f—0, ,9 = 0 gilt —
stets unter den Voraussetzungen (1) — der Satz:
Wenn der Rang des Punktes P in bezug auf J, g gleich x
ist, x > 0, so ist der Rang des Punktes P in bezug auf f, g
gleich x + 1.
Denn Punkt P ist nach Voraussetzung gemeinsamer Punkt von
/'=0, 9=0, also ist sein Rang s größer als Null; dann folgt aus (6),
daß der Rang von P in bezug auf V, g gleich s—1 ist; es muß also
s — 1— x sein, wie in (10) behauptet wird.
Die Sätze (6) und (10) zusammengenommen bilden aber genau den
Inhalt der Satzes (3). Mit (3) ist aber auch das Kriterium (2) be-
wiesen.
Wir wenden den Satz (2) auf das Problem II an.
Dazu einige Vorbemerkungen über die oben definierten Polynome
J(r) (rr, y). Die Koeffizienten der Potenzprodukte xa yß in den Poly-
nomen J(V) sind, ihrer Definition nach, selbst Polynome in den Un-
bestimmten A und P. Wir wollen dies jetzt auch in der Bezeichnung
J(v) (x> y> A, -^) andeuten. Aus der Definition der J(v) ergibt sich ferner,
daß sie sämtlich linear sind in den Koeffizienten A des Polynoms F,
dagegen nicht linear in den Koeffizienten B von Gr, sobald v > 1 ist.
Nun substituieren wir die festen Koeffizienten F' des Grundpolynoms g
an die Stelle von B, und setzen folgende /z Gleichungen in den A an,
wo y jene vorgeschriebene Zahl aus dem Problem II ist.
(11) <F(o) (a, ß, A, Bf) — 0;...; (a,/?, A,R') = 0.
Die Gleichungen (11) stellen lineare homogene Bestimmungs-
gleichungen für die Koeffizienten A dar, da ja a, ß und B' fest gegebene
Werte sind.
*) Der Satz (5) ist nur anwendbar, wenn die beiden Polynome, hier J und g,
teilerfremd sind. Daß letzteres der Fall ist, folgt aus:
(U + l y—1
J• go = (x — a) • k (x, y) modg mit k (a, /?) f 0; g (a, ß) = 0; g (x, y) X— ar
weil sonst im Widerspruch mit (1) wäre g (a y) = 0 (y — ß)2; g = irreduzibel.