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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0010
10
Heinrich Kapferer:
eine Minimalbasis heißen, wenn ihre s Elemente linear unabhängig
voneinander sind.
(14)
(15)
s j\/[ 1 2A
( 2” J ist, wenn r den Rang der Koeffizientenmatrix jenes
Nun seien die w —
homogenen linearen Bedingungsgleichungen unterworfen,
träglichkeit der Bedingungen ist bekanntlich notwendig und hinreichend,
daß r
Gleichungssystems in den A bedeutet. Wir setzen nun ein solches
widerspruchsloses Gleichungssystem als gegeben voraus, und behaupten:
Die Gesamtheit derjenigen Polynome in x, y, welche durch
Spezialisierung der Koeffizienten A aus dem allgemeinen Poly-
nom Fm (%, y, A) hervorgehen — das ist die Gesamtheit der Poly-
nome in x, y überhaupt, deren Ordnung M ist — und deren
Koeffizienten A' einem System von homogenen linearen Glei-
chungen genügen, bildet einen Modul von Polynomen. Der
Rang des letzteren sei F; der Rang der Koeffizientenmatrix des
linearen Gleichungssystems sei r; dann behaupten wir, daß
zwischen r und F die Beziehung besteht
Als Folge bekannter Sätze über lineare Gleichungen ergibt sich der Satz:
Wenn ein Modul eine s-gliedrige Minimalbasis besitzt, so
bilden sogar je s linear unabhängige Polynome aus dem Modul
ebenfalls eine Minimalbasis des Moduls, und je S+l Poly-
nome aus dem Modul sind linear abhängig.
Wir übergehen den Beweis, zumal er ganz analog verläuft, wie
der entsprechende Satz für die Basis eines algebraischen Zahlkörpers.
Die Zahl s des Satzes (14) bezeichnen wir als den Rang des Moduls.
Die Rangzahl eines Moduls gibt also die Maximalzahl der linear un-
abhängigen Elemente eines Moduls an.
Nachdem wir diese Definitionen vorausgeschickt haben, bemerken
wir zunächst, daß das sog. „allgemeine“ Polynom mter Ordnung, etwa
Fm (x. y, A) mit Unbestimmten A als Koeffizienten schon als ein Bei-
spiel eines Moduls von Polynomen aufgefaßt werden kann. Wenn
nämlich p2, . . ., die sämtlichen verschiedenen Potenzprodukte
xa ■ yß a~A ß bedeuten, deren es w = -———— ver¬
schiedene gibt, die a priori voneinander linear unabhängig sind, so ist
ja die allgemeine Kurve mter Ordnung nichts anderes als
m y’ ’A')= ■Pi ”4~ -^2 P2 "4* • • • ~4 Aw pw.
Koeffizienten von F einem System von
Für die Ver-
Heinrich Kapferer:
eine Minimalbasis heißen, wenn ihre s Elemente linear unabhängig
voneinander sind.
(14)
(15)
s j\/[ 1 2A
( 2” J ist, wenn r den Rang der Koeffizientenmatrix jenes
Nun seien die w —
homogenen linearen Bedingungsgleichungen unterworfen,
träglichkeit der Bedingungen ist bekanntlich notwendig und hinreichend,
daß r
Gleichungssystems in den A bedeutet. Wir setzen nun ein solches
widerspruchsloses Gleichungssystem als gegeben voraus, und behaupten:
Die Gesamtheit derjenigen Polynome in x, y, welche durch
Spezialisierung der Koeffizienten A aus dem allgemeinen Poly-
nom Fm (%, y, A) hervorgehen — das ist die Gesamtheit der Poly-
nome in x, y überhaupt, deren Ordnung M ist — und deren
Koeffizienten A' einem System von homogenen linearen Glei-
chungen genügen, bildet einen Modul von Polynomen. Der
Rang des letzteren sei F; der Rang der Koeffizientenmatrix des
linearen Gleichungssystems sei r; dann behaupten wir, daß
zwischen r und F die Beziehung besteht
Als Folge bekannter Sätze über lineare Gleichungen ergibt sich der Satz:
Wenn ein Modul eine s-gliedrige Minimalbasis besitzt, so
bilden sogar je s linear unabhängige Polynome aus dem Modul
ebenfalls eine Minimalbasis des Moduls, und je S+l Poly-
nome aus dem Modul sind linear abhängig.
Wir übergehen den Beweis, zumal er ganz analog verläuft, wie
der entsprechende Satz für die Basis eines algebraischen Zahlkörpers.
Die Zahl s des Satzes (14) bezeichnen wir als den Rang des Moduls.
Die Rangzahl eines Moduls gibt also die Maximalzahl der linear un-
abhängigen Elemente eines Moduls an.
Nachdem wir diese Definitionen vorausgeschickt haben, bemerken
wir zunächst, daß das sog. „allgemeine“ Polynom mter Ordnung, etwa
Fm (x. y, A) mit Unbestimmten A als Koeffizienten schon als ein Bei-
spiel eines Moduls von Polynomen aufgefaßt werden kann. Wenn
nämlich p2, . . ., die sämtlichen verschiedenen Potenzprodukte
xa ■ yß a~A ß bedeuten, deren es w = -———— ver¬
schiedene gibt, die a priori voneinander linear unabhängig sind, so ist
ja die allgemeine Kurve mter Ordnung nichts anderes als
m y’ ’A')= ■Pi ”4~ -^2 P2 "4* • • • ~4 Aw pw.
Koeffizienten von F einem System von
Für die Ver-