Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Heinrich Kapferer:


Die Gesamtheit derjenigen speziellen Polynome FM (x,y, A'\
welche durch das Grundpolynom gN (x,«/) teilbar sind, bildet,
bei M>F, einen Modul von Polynomen vom Dange


Denn sie ist identisch mit wo ein „allgemeines“
Polynomen vom Grade M — N bedeutet, also selbst einen Modul aus
Polynomen bildet. Als Minimalbasis wählen wir wieder die Gesamt-
heit der verschiedenen Potenzprodukte xay^ mit a + /?< Jf—N, das
sind 2 verschiedene. Ferner ergibt die Anwendung des
allgemeinen Satzes (15) des vorigen § 3 auf das Problem I sofort fol-
genden Satz:
Die Gesamtheit derjenigen speziellen Polynome FM(x,y,A'\.
deren Koeffizienten A' den Gleichungen (11) genügen, von
(2Q denen also r< vorausgesetzt wird, bilden einen Modul
die vom Range wo r den Rang der
Koeffizientenmatrix der Gleichungen (11) bedeutet.

Wir benötigen ferner noch einen Hilfssatz über die in § 2 definierten
Polynome Jj;)) (x, y). Vermöge irgendeiner Spezialisierung
A->AZ; B-+B'

mögen die allgemeinen Polynome FM(x, y, A), GN(x,y,B~) und Jjpy
(x, y, A, B) der Reihe nach übergehen in
fm(F,y\
dann behaupten wir:
(22) Falls f=O(jg) ist, so sind ®e j(p) = 0(^).
Für v — 0 ist der Satz trivial, weil j = f ist. Wir schließen
von v auf r + 1. Definitionsgemäß ist
j(v + 1) Oü)) x 9y O(i’)) y 9x‘
Wenn also F) — g ' vorausgesetzt wird, so erhält man durch Dif-
ferentieren: „. . - ,
= mod 9
= mod g
und daher J(? + 1) = 0(p); q. e. d.
Falls also /’=0(p) und gleichzeitig g (ec, ß) == 0 ist, so folgt aus
(22), daß auch sämtliche y(P)(a,/?) = 0 sind. Die sämtlichen Polynome