Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

20

H. Kapferer:

hat Zeuti-ien x) in einer größeren Abhandlung den CAYLEYSchen Satz von
neuem bewiesen, weil er glaubte, in Cayleys Beweis Lücken gefunden
zu haben. Gegen Ende seiner Abhandlung geht der Verfasser über
den CAYLEYSchen Standpunkt hinaus, indem er den allgemeinsten Fall
in Betracht zieht, in welchem fm und gn ein beliebiges Schnittpunkt-
system bilden, und behauptet, daß auch hier noch in gewissem Sinn
der CAYLEYSche Satz Geltung haben müsse. Die Begründung ist aber
nicht algebraisch; denn sie benutzt Grenzbetrachtungen und konver-
gente Reihen. Selbst wenn diese Begründung ausreichend sein sollte
für das, was behauptet wird, so wird man bedauern, daß die rein alge-
braische Fragestellung nicht auch durch algebraische Methoden allein
erledigt wird; denn dies ist in der Tat möglich, und in präziser
Weise. Das will die vorliegende Abhandlung zeigen. Die Überlegungen
hierzu beruhen einerseits wesentlich auf dem NoETHEKschen Funda-
mentalsatz in der idealtheoretischen Auffassung und andererseits auf
einem Satz über den Rang eines Moduls von Polynomen, deren Koeffi-
zienten linearen Bedingungen unterworfen sind, und den ich in dei’
vorhergehenden Abhandlung* 2) aufgestellt habe.
Das Ergebnis ist — trotz seiner Allgemeinheit — so, daß nur
wenig in der obigen Fassung des CAYLEYSchen Satzes geändert werden
muß; es lautet:

Wenn eine Kurve Cv(x,y') der Ordnung v gezwungen ist, sich
so zu zwei Kurven fm(x, y\ 9n(x>y\ mit v>m, zu
verhalten, daß die algebraische Kongruenz:
Cv (x, y) = 0 (fm (%, y), gn «/))
gilt, so werden hierdurch der Cv (x, y) stets genau m • n lineare
homogene Bedingungen auferlegt. Bezeichnet r die Anzahl3)
der linear unabhängigen unter ihnen, so ist — wie in (1) —

r = m ■ n bei v m + 71 — 3
r < m • n bei v < m + n — 3, und zwar


m + 71 — v — 1
2

In dem extremen Fall von m-n verschiedenen — also einfach
zählenden, Schnittpunkten, und nur in diesem Fall, ist die Kongruenz
Cv = 0 (fm, gn) bekanntlich äquivalent mit der Bedingung, daß Cv
3 Zeuthen, Mathern. Annalen (31), 1888: Sur la determination d’une courbe
algebrique par des points donnees.
2) H. Kapferer „Über Schnittpunktsysteme mit vorgeschriebenen Multi-
plizitätszahlen“. Sitzber. der Heidel b. Akademie, 1930.
3) Die weitere Fragestellung, ob und unter welchen Bedingungen sogar je r
der m ■ n linearen Bedingungen voneinander unabhängig sind, lassen wir außer