DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0026
26
H. Kapferer :
Beweise von (10 b) zerlegen wir den oben definierten Teilmodul
noch einmal in 2 Teilmoduli 591h und 9R12> so fDß geschrieben werden
darf + 5Jt12- Dabei soll unter 5Ulnl die Gesamtheit der durch
f-g teilbaren Formen der Ordnung v, unter 59l12 die Gesamtheit der
übrigen Formen von verstanden werden. 5F12 ist also die Ge-
samtheit der durch f, aber nicht durch g teilbaren Formen der Ordnung v.
Daher gilt im Sinne unserer oben erklärten Schreibweise 5Fn = 0 (TR2)
und aus
^ = 5^! + ^+^
folgt 5R==9R12 + 5Tc2.
Zwischen den Elementen einer Minimalbasis von 5F12 und den-
jenigen von STR2 besteht aber keine Abhängigkeit wegen einerseits 5R2 —
0 (g) und andererseits g * 0 (5R12). Daher bildet die Vereinigung einer
Minimalbasis von M12 und der Elemente einer Minimalbasis von 5Jl2
eine Minimalbasis von d. h. zwischen den Rangzahlen Rgjj,
^9)22 besteht die Beziehung
Rgjf = Rsjk1 +
Rsjjt und wurden oben schon berechnet. Nach der analogen Überlegung
wird “ m 7 H + 2) und wegen R^ = R^n + R^ wird
Rm12 = — ^ + 2^ (u w — w + 2^. Somit ergibt sich für R%t
der in (10b) angegebene Wert.
§ 4. Der Rang r der Behauptung § 1, (2).
Jene m-n lineare Gleichungen, welche gemäß § 2, (7) der homo-
genen Kongruenz
Cv (x, y,z) = 0 (f(x, y, z), g (x, y, z))
äquivalent sind, mögen den Rang r haben. Dann folgen aus den
Sätzen (9), (10 a) und (10 b) unmittelbar folgende Werte für r:
1. Fall. Bei v < m + n ist
rRv + ‘2)- ("~™ + 2)_ (’'-» + 2^m.M_(“+»-«-l)
2. Fall. Bei v>m-\-n ist
r = (v + 2) _ (v — m + 2^_(v — n + 2^jt_^v— m - n + 2^ = n
Da + l^)=0 für v=m+n— 1 und fürv = »n + n —2,
so kann man das Ergebnis auch so zusammenfassen:
H. Kapferer :
Beweise von (10 b) zerlegen wir den oben definierten Teilmodul
noch einmal in 2 Teilmoduli 591h und 9R12> so fDß geschrieben werden
darf + 5Jt12- Dabei soll unter 5Ulnl die Gesamtheit der durch
f-g teilbaren Formen der Ordnung v, unter 59l12 die Gesamtheit der
übrigen Formen von verstanden werden. 5F12 ist also die Ge-
samtheit der durch f, aber nicht durch g teilbaren Formen der Ordnung v.
Daher gilt im Sinne unserer oben erklärten Schreibweise 5Fn = 0 (TR2)
und aus
^ = 5^! + ^+^
folgt 5R==9R12 + 5Tc2.
Zwischen den Elementen einer Minimalbasis von 5F12 und den-
jenigen von STR2 besteht aber keine Abhängigkeit wegen einerseits 5R2 —
0 (g) und andererseits g * 0 (5R12). Daher bildet die Vereinigung einer
Minimalbasis von M12 und der Elemente einer Minimalbasis von 5Jl2
eine Minimalbasis von d. h. zwischen den Rangzahlen Rgjj,
^9)22 besteht die Beziehung
Rgjf = Rsjk1 +
Rsjjt und wurden oben schon berechnet. Nach der analogen Überlegung
wird “ m 7 H + 2) und wegen R^ = R^n + R^ wird
Rm12 = — ^ + 2^ (u w — w + 2^. Somit ergibt sich für R%t
der in (10b) angegebene Wert.
§ 4. Der Rang r der Behauptung § 1, (2).
Jene m-n lineare Gleichungen, welche gemäß § 2, (7) der homo-
genen Kongruenz
Cv (x, y,z) = 0 (f(x, y, z), g (x, y, z))
äquivalent sind, mögen den Rang r haben. Dann folgen aus den
Sätzen (9), (10 a) und (10 b) unmittelbar folgende Werte für r:
1. Fall. Bei v < m + n ist
rRv + ‘2)- ("~™ + 2)_ (’'-» + 2^m.M_(“+»-«-l)
2. Fall. Bei v>m-\-n ist
r = (v + 2) _ (v — m + 2^_(v — n + 2^jt_^v— m - n + 2^ = n
Da + l^)=0 für v=m+n— 1 und fürv = »n + n —2,
so kann man das Ergebnis auch so zusammenfassen: