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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0032
32
Arnold Scholz:
, ^llrpv
Führer II pv enthalten, den wir den Wiederholungskörper von
II n nennen wollen; geht auch noch Z in der Diskriminante von
V
erweitern und dem Führer eventuell eine rationale Potenz von Z zu-
zugeben.
Das entsprechende gilt auch für mehrstufige Körper von Prim-
zahlpotenzgrad.
Wenn man also auf eine Gesamtübersicht über die absolut met-
abelschen Körper von Primzahlpotenzgrad ausgeht, wird man den
Hauptwert auf das Studium der Klassenkörper von Kreiskörpern der
Gestalt
legen. Diese Kreiskörper sind immer die maxi¬
malen Abelschen Unterkörper ihres absoluten Klassenkörpers3) (sogar
Z' p
des Wiederholungskörpers, wenn der Kreiskörper die Gestalt II v.
{pv, Tj = 1, hat). Denn da der absolute Klassenkörper K dieselbe
Differente wie IC besitzt (in ihm keine Primzahl in eine höhere Ideal-
potenz zerfällt als in IC selbst), so haben auch alle Körper zwischen
IC und und daher auch der maximale Abelsche Unterkörper von K
dieselbe Differente II p^ Nun ist IC überhaupt der maximale
Kreiskörper dieser Differente, da er in P zur Idealgruppe der simul-
tanen Z^ — P°teuzreste m°d Pv = F • • • w) gehört; denn diese simul-
tanen Potenzreste müssen in der Idealgruppe jedes Kreiskörpers vor¬
kommen, der (höchstens) die Differente IIp^ besitzt: in dem nur
die Primzahlen pv in höhere Idealpotenzen zerfallen, und zwar pv nur
in eine Z v Ü Potenz. IC ist also der maximale Abelsche Unterköper
von IC. Ähnlich schließt man für den Wiederholungskörper von
IC=IIIC^ J>v, daß IC sein maximaler Abelscher Unterkörper ist, da
V
überhaupt der maximale Kreiskörper mit dem Führer üpv ist.
Über die Galoissche Gruppe @ des absoluten Klassenkörpers IC
Zur Kommutatorgruppe von @ gehört der Körper Ä. Für die
Galoissche Gruppe = <5 von IC (Kommutatorfaktor von @) gewinnt
man eine Basis . .. Sn, indem man allgemein Sv als erzeugende
Substitution der Trägheitsgruppe der Primzahl pv, von der Ordnung Z v,
Arnold Scholz:
, ^llrpv
Führer II pv enthalten, den wir den Wiederholungskörper von
II n nennen wollen; geht auch noch Z in der Diskriminante von
V
erweitern und dem Führer eventuell eine rationale Potenz von Z zu-
zugeben.
Das entsprechende gilt auch für mehrstufige Körper von Prim-
zahlpotenzgrad.
Wenn man also auf eine Gesamtübersicht über die absolut met-
abelschen Körper von Primzahlpotenzgrad ausgeht, wird man den
Hauptwert auf das Studium der Klassenkörper von Kreiskörpern der
Gestalt
legen. Diese Kreiskörper sind immer die maxi¬
malen Abelschen Unterkörper ihres absoluten Klassenkörpers3) (sogar
Z' p
des Wiederholungskörpers, wenn der Kreiskörper die Gestalt II v.
{pv, Tj = 1, hat). Denn da der absolute Klassenkörper K dieselbe
Differente wie IC besitzt (in ihm keine Primzahl in eine höhere Ideal-
potenz zerfällt als in IC selbst), so haben auch alle Körper zwischen
IC und und daher auch der maximale Abelsche Unterkörper von K
dieselbe Differente II p^ Nun ist IC überhaupt der maximale
Kreiskörper dieser Differente, da er in P zur Idealgruppe der simul-
tanen Z^ — P°teuzreste m°d Pv = F • • • w) gehört; denn diese simul-
tanen Potenzreste müssen in der Idealgruppe jedes Kreiskörpers vor¬
kommen, der (höchstens) die Differente IIp^ besitzt: in dem nur
die Primzahlen pv in höhere Idealpotenzen zerfallen, und zwar pv nur
in eine Z v Ü Potenz. IC ist also der maximale Abelsche Unterköper
von IC. Ähnlich schließt man für den Wiederholungskörper von
IC=IIIC^ J>v, daß IC sein maximaler Abelscher Unterkörper ist, da
V
überhaupt der maximale Kreiskörper mit dem Führer üpv ist.
Über die Galoissche Gruppe @ des absoluten Klassenkörpers IC
Zur Kommutatorgruppe von @ gehört der Körper Ä. Für die
Galoissche Gruppe = <5 von IC (Kommutatorfaktor von @) gewinnt
man eine Basis . .. Sn, indem man allgemein Sv als erzeugende
Substitution der Trägheitsgruppe der Primzahl pv, von der Ordnung Z v,