Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über das Verhältnis von Idealklassen- und Einheitengruppe usw. 35

Idealklasse der Ordnung Z2, so wählen wir als Koeffizientenbereich für
die Polynome in X, Y gleich den Restklassenkörper mod l, so daß dann
ß = (X, F) wird und ß2 aus den homogenen Polynomen in X, Y vom
Grade 2 erzeugt wird.
Im folgenden werden wir vielfach X als Relativkörper über einem
der £_|-1 Unterkörper X' von X zu betrachten haben; dann ist der
maximale relativ-Abelsche Unterkörper X' von X derjenige, in dessen
Gruppe A die Ordnung 0DI, S — 1) besitzt, kurz gesagt: derjenige, der
zum Modul 0DI, $—1) gehört, wobei S die Untergruppe von 6 er-
zeugt, zu der der Körper X’ gehört. Denn offenbar handelt es sich
darum, den Kommutatorfaktor der Gruppe {$, 31} zu finden. Es ist
nun Ä der Kommutator von A mit S und erzeugt zugleich die'
ganze Kommutatorgruppe von {$,91}. Also ist 91' = {$, 91} ■/ (A }@
die Gruppe von X'\X’. Die einzige gegenüber ® invariante Kom-
positionsreihe dieser Gruppe ist, wenn etwa S = {$, $x}:
W {AX]@>{AX\> .. .
Zu jedem Index Z , der in der Ordnung von 9P aufgeht, gibt es
gerade eine solche Untergruppe.
Für $ = Sv S2 kommen wir auf die beiden Stammkörper Xp, x\
die, wie oben bemerkt, eine zu Z prime Klassenzahl besitzen. Der
maximale über relativ Abelsche Unterkörper von X ist hier Klassen-
körper mit dem Führer q, und zwar zur Idealgruppe der Zlü1 Potenz-
reste mod q, da der Klassenkörper g zu dieser Idealgruppe, ebenso
wie X, in bezug auf.Zv> die Differente qx~^1 besitzt9), daher über X
unverzweigt, also in X enthalten ist. Eine stärkere Ausbeutung
des Führers q würde hingegen zu einer Erhöhung der Differente
z2 z2
und zur Adjunktion von (bzw. XZ3) führen. — Statt bei dem
Beweise auf die Differente einzugehen, kann man auch zeigen,
daß q (jeder Primteiler von q) von Xp auf Xp q nur in eine z'1® Potenz
zerfällt, und im Zusammenhang damit vorweg folgendes: Zerfällt q in
Xp, und ist die Grundeinheit in Xp genau Yker Potenzrest10) mod q
9) Auch für q = f' hat sie den Wert Z'2 wie für K einfach daraus
folgt, daß die Diskriminante des relativ zyklischen Körpers vorn Grade Z die
Z_1) te Potenz des Führers ist. Für den Körper Kp q muß man schon die
HiLBERTsche Diskriminantenformel (Zahlbericht Satz 79) oder das HfiCKEsche Dis-
kriminanten-Führergesetz zu Hilfe nehmen.
10) Gemeint in bezug auf die Zt_en Potenzreste, die ja in die Hauptklasse von
l f J _ l 7
Xp, q. 1 kommen, also r]r = a ß (mod q), eigentlich (Z, Y ) ter Potenzrest.