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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0042
42
Arnold Scholz:
Für Einheiten s, deren ZF Potenzen einen höheren Grad 2>1
7_ j 0
haben, beweist man ganz entsprechend wie oben für 2 = 0, daß £
ihre Ordnung in bezug auf die Alteinheitengruppe ist. Soll g relative
l_l
Grundeinheit sein, so muß also e = ( g ') sein.
3. Den wichtigsten Zusammenhang zwischen Idealklassengruppe
und Einheitengruppe eines Abelschen Körpers vom Typus (Z, l) erhält
man aus folgender Überlegung, die der Inhalt des Satzes 12 der Takagi-
schen Theorie des relativ Abelschen Zahlkörpers (Journ. Coll. Science
Tokyo 41 (1920)) ist:
Besitzt ein Körper Ko r Fundamentaleinheiten 7;x, . . . rjr, aber
nicht die ZF Einheitswurzel Cz, so besitzt er r unabhängige Einheiten-
verbände mocl Z: H, t)2 H, ... 7?r H, wobei H die Gruppe der ZF?
Potenzen von Einheiten aus II0 bedeutet. Kx sei ein relativ zyklischer
Körper vom Grade Z über Ka, S eine erzeugende Substitution der
Gruppe von fK0. Ob eine Einheit von 7v;) Norm einer Einheit aus
K3 ist, hängt nur von dem Verband ab, in dem sie liegt. Bilden
(g>^r=® + r) Verbände die Untergruppe N der Einheiten, die Rela-
tivnormen sind, so können wir die 7jx, ... 7;r so wählen, daß N = (?A,
7;2, • ■ • 77g, H). Der Körper Ki hat r+1 relative Grundeinheiten gp
g2, • • • in bezug auf Ko: jede Einheit in läßt sich darstellen:
»• a p-
g= 77 II £, (a„, F-) ganz mod Z\ Da die Relativnormen
der 7;x, . . . 7;r mit ihren ZF? Potenzen zusammenfallen, also alle Ein-
heiten aus H durchlaufen, und N (g^iS) = N (e*) ist, so müssen die
V(£x), x = 1, . . . 7*4-1, und ihre Potenzprodukte sich auf alle Ver-
bände von N verteilen. Man kann dann das System gp ... gr+i multi-
plikativ so transformieren und mit Einheiten aus Ko multiplizieren,
daß N (gx) = 77-,, N(g2) = 7;2, . . . AT(g0) = 7^ und W(gö) = 1 für o~>q.
Wir erhalten auf diese Weise v +1 unabhängige Einheiten go, für die
keine Beziehung: Hgö%= g^~-*-besteht, ohne daß alle = 0(Z), deren
Relativnorm aber 1 ist, und damit r + 1 unabhängige Zahlideale (aa)
in Kj, für die ga= a^S—1 (HiLBERTScher Zahlbericht Satz 90) und kein
Potenzprodukt IIaoao ein Zahlideal aus ZC0 ergibt, ohne daß alle ap = 0 (Z).
Diese gegenüber $ invarianten Zahlideale (aa) und ihre nicht-
trivialen Potenzprodukte sind aber entweder Ideale Clö aus die
erst in zu Hauptidealen werden, oder gebrochene Potenzen (coö) 11
von Zahlidealen (coö) aus 7I0, die dort keine ZF? Idealpotenzen sind.
Und für jedes invariante Zahlideal (a) in Kx gilt eine Darstellung:
a 1 = ZI £a°v. £‘S'—1, a]So a = II ao a'° • g ■ y0, wo y0 < Ko.
Arnold Scholz:
Für Einheiten s, deren ZF Potenzen einen höheren Grad 2>1
7_ j 0
haben, beweist man ganz entsprechend wie oben für 2 = 0, daß £
ihre Ordnung in bezug auf die Alteinheitengruppe ist. Soll g relative
l_l
Grundeinheit sein, so muß also e = ( g ') sein.
3. Den wichtigsten Zusammenhang zwischen Idealklassengruppe
und Einheitengruppe eines Abelschen Körpers vom Typus (Z, l) erhält
man aus folgender Überlegung, die der Inhalt des Satzes 12 der Takagi-
schen Theorie des relativ Abelschen Zahlkörpers (Journ. Coll. Science
Tokyo 41 (1920)) ist:
Besitzt ein Körper Ko r Fundamentaleinheiten 7;x, . . . rjr, aber
nicht die ZF Einheitswurzel Cz, so besitzt er r unabhängige Einheiten-
verbände mocl Z: H, t)2 H, ... 7?r H, wobei H die Gruppe der ZF?
Potenzen von Einheiten aus II0 bedeutet. Kx sei ein relativ zyklischer
Körper vom Grade Z über Ka, S eine erzeugende Substitution der
Gruppe von fK0. Ob eine Einheit von 7v;) Norm einer Einheit aus
K3 ist, hängt nur von dem Verband ab, in dem sie liegt. Bilden
(g>^r=® + r) Verbände die Untergruppe N der Einheiten, die Rela-
tivnormen sind, so können wir die 7jx, ... 7;r so wählen, daß N = (?A,
7;2, • ■ • 77g, H). Der Körper Ki hat r+1 relative Grundeinheiten gp
g2, • • • in bezug auf Ko: jede Einheit in läßt sich darstellen:
»• a p-
g= 77 II £, (a„, F-) ganz mod Z\ Da die Relativnormen
der 7;x, . . . 7;r mit ihren ZF? Potenzen zusammenfallen, also alle Ein-
heiten aus H durchlaufen, und N (g^iS) = N (e*) ist, so müssen die
V(£x), x = 1, . . . 7*4-1, und ihre Potenzprodukte sich auf alle Ver-
bände von N verteilen. Man kann dann das System gp ... gr+i multi-
plikativ so transformieren und mit Einheiten aus Ko multiplizieren,
daß N (gx) = 77-,, N(g2) = 7;2, . . . AT(g0) = 7^ und W(gö) = 1 für o~>q.
Wir erhalten auf diese Weise v +1 unabhängige Einheiten go, für die
keine Beziehung: Hgö%= g^~-*-besteht, ohne daß alle = 0(Z), deren
Relativnorm aber 1 ist, und damit r + 1 unabhängige Zahlideale (aa)
in Kj, für die ga= a^S—1 (HiLBERTScher Zahlbericht Satz 90) und kein
Potenzprodukt IIaoao ein Zahlideal aus ZC0 ergibt, ohne daß alle ap = 0 (Z).
Diese gegenüber $ invarianten Zahlideale (aa) und ihre nicht-
trivialen Potenzprodukte sind aber entweder Ideale Clö aus die
erst in zu Hauptidealen werden, oder gebrochene Potenzen (coö) 11
von Zahlidealen (coö) aus 7I0, die dort keine ZF? Idealpotenzen sind.
Und für jedes invariante Zahlideal (a) in Kx gilt eine Darstellung:
a 1 = ZI £a°v. £‘S'—1, a]So a = II ao a'° • g ■ y0, wo y0 < Ko.