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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0044
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Arnold Scholz:
Potenzrest ist, daß 2J|2, sobald = 1- Insbesondere ist
dann ßj99l und die Klassenzahl von K durch l teilbar. — £ Hegt also
gerade in derX^-1 kE Potenz einer erzeugenden Idealklasse der Klassen-
gruppe von v / K7, und da £ = N (q^) in K, q^. dort gerade in
2_2
einer X ‘ W Potenz einer erzeugenden Idealklasse der Klassengruppe
von K1 /K. D. h. ist A® jetzt die absolute Idealklasse in K, in der
qÄ, liegt, so gilt: Q = JX^ 2 mod (991, F) = (Z, X"*-\ E). Oder:
Q = JX*~2 + R Y (mod Z).
Wenn aber 2= Z: (991, Y) — (Z, X1 \ F), kann £ sowohl ZF? als
nur X^ 1 Fl Potenzrest mod p sein, da dann alle Einheiten ZI? Potenz-
reste sind. Es liegt dann schon q^, selbst oder auch erst q^X in der
Idealgruppe von Kund für den Exponenten Q dei’ Idealklasse von
Q==^^ oder Q = JXl 2 f-R Y (Z), je nachdem £ TAL
Potenzrest mod p ist oder nicht.
Nach dem obigen Ergebnis ist xj dann und nur dann Norm-
körper, wenn Q Y ± 0 (991). Beschränken wir unsere Betrachtungen
auf den Fall, daß 991 11, daß also K keine Idealklasse der Ordnung Z2
besitzt, so erhalten wir: Für Q~R Y(V) ist sicher Q Yf 2 = 0 (991)
und damit K,J Nichtnormkörper. Ist aber Q — JX'’ 2-f R Y (l),.
]J . 1 — 2
so erfordert die Normkörperbedingung Q Y "40 (991) nur, daß
X^ —2 Y^ 2 4 0 (991). Man hat: ist für —(^\=1 dann undnur
dann Normkörper, wenn l kein lAL Potenzrest mod p und
y 2 - 2 y Z - 2 Q wobei durck Y^ = ^x^~ 1, T) definiert ist.
Wie 991 beschaffen sein muß, damit X^ 2 F? 2 4 0 (991), wird
sich näher aus entsprechenden Untersuchungen über die Zwischen-
körper ergeben. Wenn 991 = (Z, X 1 , F ), ist diese Inkongruenz
sicher erfüllt, also Normkörper, wenn 2<Z; zugleich ist Nicht-
p l_2 1_2
normkörper, da der entsprechende Ausdruck X F "in 991 liegt.
Ist aber z. B. 991 - 91 = (Z, X*“1, FZ_1), so ist XZ_2 IJ~2± 0
(941) und Normkörper, wenn 4 nicht ZF? Potenzrest mod jj; ebenso,
wenn p = (tz ) in Kl Normkörper, wenn n lAL Nichtrest mod q.
Arnold Scholz:
Potenzrest ist, daß 2J|2, sobald = 1- Insbesondere ist
dann ßj99l und die Klassenzahl von K durch l teilbar. — £ Hegt also
gerade in derX^-1 kE Potenz einer erzeugenden Idealklasse der Klassen-
gruppe von v / K7, und da £ = N (q^) in K, q^. dort gerade in
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einer X ‘ W Potenz einer erzeugenden Idealklasse der Klassengruppe
von K1 /K. D. h. ist A® jetzt die absolute Idealklasse in K, in der
qÄ, liegt, so gilt: Q = JX^ 2 mod (991, F) = (Z, X"*-\ E). Oder:
Q = JX*~2 + R Y (mod Z).
Wenn aber 2= Z: (991, Y) — (Z, X1 \ F), kann £ sowohl ZF? als
nur X^ 1 Fl Potenzrest mod p sein, da dann alle Einheiten ZI? Potenz-
reste sind. Es liegt dann schon q^, selbst oder auch erst q^X in der
Idealgruppe von Kund für den Exponenten Q dei’ Idealklasse von
Q==^^ oder Q = JXl 2 f-R Y (Z), je nachdem £ TAL
Potenzrest mod p ist oder nicht.
Nach dem obigen Ergebnis ist xj dann und nur dann Norm-
körper, wenn Q Y ± 0 (991). Beschränken wir unsere Betrachtungen
auf den Fall, daß 991 11, daß also K keine Idealklasse der Ordnung Z2
besitzt, so erhalten wir: Für Q~R Y(V) ist sicher Q Yf 2 = 0 (991)
und damit K,J Nichtnormkörper. Ist aber Q — JX'’ 2-f R Y (l),.
]J . 1 — 2
so erfordert die Normkörperbedingung Q Y "40 (991) nur, daß
X^ —2 Y^ 2 4 0 (991). Man hat: ist für —(^\=1 dann undnur
dann Normkörper, wenn l kein lAL Potenzrest mod p und
y 2 - 2 y Z - 2 Q wobei durck Y^ = ^x^~ 1, T) definiert ist.
Wie 991 beschaffen sein muß, damit X^ 2 F? 2 4 0 (991), wird
sich näher aus entsprechenden Untersuchungen über die Zwischen-
körper ergeben. Wenn 991 = (Z, X 1 , F ), ist diese Inkongruenz
sicher erfüllt, also Normkörper, wenn 2<Z; zugleich ist Nicht-
p l_2 1_2
normkörper, da der entsprechende Ausdruck X F "in 991 liegt.
Ist aber z. B. 991 - 91 = (Z, X*“1, FZ_1), so ist XZ_2 IJ~2± 0
(941) und Normkörper, wenn 4 nicht ZF? Potenzrest mod jj; ebenso,
wenn p = (tz ) in Kl Normkörper, wenn n lAL Nichtrest mod q.