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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0045
Über das Verhältnis von Idealklassen- und Einheitengruppe usw- 45
X
Wegen der Hauptidealeigenschaft von q^- folgt noch für Q =
2 + daß QX = JXl D.h.unter
2,_1
den Ausdrücken mit dem Summanden X , von denen wenigstens
einer in 9Tc liegen muß, damit (9JI, E) = ft X^ \ T), kommt wenig¬
stens einer vor, der durch X teilbar. 5R kann also z. B. nicht mod 91
durch ein homogenes Polynom niederer als (l— 1)!^ Dimension erzeugt
werden, bei dem die Koeffizienten der Potenz von X und der Potenz
von Y beide nicht verschwinden.
5. Nachdem wir eben die Stammkörper auf ihre Normeigenschaft
hin untersucht haben, gehen wir jetzt za den Zwischenkörpern über.
Wie gesagt, ist K unverzweigt über K, und der absolute Klassenkörper
K gehört zum Modul 90 l = (9K, S2 — S^"). Die einzigen gegenüber S
a a —
invarianten Untergruppen der Gruppe @f(. von Kj K treten auf in
der Kompositionsreihe:
®. = {si % WsDW® > • • ■ >{uÄ } = K
Gehen alle Ideale aus K (/xa+l unabhängige) in K in Hauptideale
über (d. h. in Ideale, von denen eine J- Potenz ein Zahlideal ergibt),
so ist nach 3. erst die X1'a h! Potenz der Grundeinheit va. von IT Norm
a
einer Einheit von K. Ist aber (0 <^/zf() die Untergruppe
der werdenden Hauptideale, so erzeugt die Normeinheiten.
TT
Nun geht ein Ideal aus K, das dort in einer Klasse A liegt, in K
FS CS —aS^\
in die Klasse A ( 1 2) über, während in demselben Sinne
eine außerhalb {A}© liegende Idealklasse in ihre De Potenz übergeht13).
In K sind natürlich die Exponenten von A nach dem vollen Modul
zu werten. Es ist also das obige x die kleinste Zahl, für die
die Einheitsnormengruppe, je nachdem (Sj a52)?= & oder + E in
Uns interessiert, ob alle Einheiten aus K Einheitsnormen in T\
a
sind oder nicht, d. h., vorläufig nur für p,a > 1 ausgesprochen, ob
13) Vgl. E. Artin: Idealklassen in Oberkörpern und Allgemeines Reziprozi-
tätsgesetz, Ablidlg. d. Hambg. Math. Sem. 7 (1929), S. 46—51.
X
Wegen der Hauptidealeigenschaft von q^- folgt noch für Q =
2 + daß QX = JXl D.h.unter
2,_1
den Ausdrücken mit dem Summanden X , von denen wenigstens
einer in 9Tc liegen muß, damit (9JI, E) = ft X^ \ T), kommt wenig¬
stens einer vor, der durch X teilbar. 5R kann also z. B. nicht mod 91
durch ein homogenes Polynom niederer als (l— 1)!^ Dimension erzeugt
werden, bei dem die Koeffizienten der Potenz von X und der Potenz
von Y beide nicht verschwinden.
5. Nachdem wir eben die Stammkörper auf ihre Normeigenschaft
hin untersucht haben, gehen wir jetzt za den Zwischenkörpern über.
Wie gesagt, ist K unverzweigt über K, und der absolute Klassenkörper
K gehört zum Modul 90 l = (9K, S2 — S^"). Die einzigen gegenüber S
a a —
invarianten Untergruppen der Gruppe @f(. von Kj K treten auf in
der Kompositionsreihe:
®. = {si % WsDW® > • • ■ >{uÄ } = K
Gehen alle Ideale aus K (/xa+l unabhängige) in K in Hauptideale
über (d. h. in Ideale, von denen eine J- Potenz ein Zahlideal ergibt),
so ist nach 3. erst die X1'a h! Potenz der Grundeinheit va. von IT Norm
a
einer Einheit von K. Ist aber (0 <^/zf() die Untergruppe
der werdenden Hauptideale, so erzeugt die Normeinheiten.
TT
Nun geht ein Ideal aus K, das dort in einer Klasse A liegt, in K
FS CS —aS^\
in die Klasse A ( 1 2) über, während in demselben Sinne
eine außerhalb {A}© liegende Idealklasse in ihre De Potenz übergeht13).
In K sind natürlich die Exponenten von A nach dem vollen Modul
zu werten. Es ist also das obige x die kleinste Zahl, für die
die Einheitsnormengruppe, je nachdem (Sj a52)?= & oder + E in
Uns interessiert, ob alle Einheiten aus K Einheitsnormen in T\
a
sind oder nicht, d. h., vorläufig nur für p,a > 1 ausgesprochen, ob
13) Vgl. E. Artin: Idealklassen in Oberkörpern und Allgemeines Reziprozi-
tätsgesetz, Ablidlg. d. Hambg. Math. Sem. 7 (1929), S. 46—51.