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https://doi.org/10.11588/diglit.43604#0004
Richard Baldus:
den Axiomen dieser drei Gruppen kann man, wie bekannt, unter
anderem folgende Sätze beweisen1 2):
a) Man kann jede Strecke eindeutig halbieren.
b) Ist P ein Punkt, g eine ihn nicht enthaltende Gerade, dann
gibt es genau eine Gerade, welche P mit einem Punkte von g ver-
bindet und zu g senkrecht steht.
c) Jede Gerade durch den Scheitel 0 eines Winkels POQ,
welche einen Punkt des Winkelinneren enthält, trifft die Strecke PQ.
d) Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist größer als jeder ihm
nicht benachbarte Innenwinkel.
e) Die Summe zweier Dreiecksseiten
ist größer als die dritte Seite.
f) Das Lot des Satzes b) ist die
kürzeste Strecke zwischen P und g.
g) Ist, Abb. 1, PL das Lot des
Satzes b), ist L-*- A-+- B-*~C der eine
Durchlauf ungssinn von g und ist <£. APB
= V BPC, dann ist AB < BC*).
2. Bei der Fortsetzung des Axiomensystems der absoluten
Geometrie über die genannten drei Axiomgruppen hinaus muß man
das System FIilberts, das als Axiomgruppe IV das Euklidische
Parallelenaxiom, als V die Stetigkeitsaxiome ^Archimedisches
Axiom und Vollständigkeitsaxiom) enthält, durch Weglassen des
Parallelenaxioms abändern. Da aber Hilberts Vollständigkeits-
axiom das Parallelenaxiom voraussetzt3), liegt es nahe, das Voll-
x) Eine ziemlich vollständige Aufzählung der bekannten elementargeome-
trischen Sätze, die sich so beweisen lassen, enthält meine „Nichteuklidische
Geometrie“ (weiterhin zitiert als „N. G.“), Sammlung Göschen 1927, auf S. 33
bis 39.
2) Herr G. Feige hat in einer Note „Über das Archimedische Axiom“,
Math. Zeitschr. 25 (1926) S. 590—601 bewiesen, daß aus den Axiomgruppen
I—III die Äquivalenz der Archimedischen Aussage für Strecken mit der für
Winkel folgt. In einer ebenso betitelten Note habe ich Bd. 26 (1927) der gleichen
Zeitschrift S. 757—761 einen wesentlich einfacheren Beweis dieser Tatsache
mittels des Satzes g) angegeben. Nachträglich bemerke ich, daß der von Herrn
Feige bewiesene Satz bekannt ist, ebenso der von mir dafür gegebene Beweis,
vgl. z. B. Stolz-Gmeiner, „Theoretische Arithmetik“ 1. Aufl. (1902) S. 110,
2. Aufl. II. (1915) S. 15—16. Schon bei G. Veronese, „Elementi di Geometria“
II (1900) S. 77—78 finden sich Ausführungen, die sich leicht so verändern lassen,
daß aus ihnen der Satz und mein Beweis folgt.
3) „Grundlagen der Geometrie“ 6. Aufl. (1922) S. 22.
den Axiomen dieser drei Gruppen kann man, wie bekannt, unter
anderem folgende Sätze beweisen1 2):
a) Man kann jede Strecke eindeutig halbieren.
b) Ist P ein Punkt, g eine ihn nicht enthaltende Gerade, dann
gibt es genau eine Gerade, welche P mit einem Punkte von g ver-
bindet und zu g senkrecht steht.
c) Jede Gerade durch den Scheitel 0 eines Winkels POQ,
welche einen Punkt des Winkelinneren enthält, trifft die Strecke PQ.
d) Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist größer als jeder ihm
nicht benachbarte Innenwinkel.
e) Die Summe zweier Dreiecksseiten
ist größer als die dritte Seite.
f) Das Lot des Satzes b) ist die
kürzeste Strecke zwischen P und g.
g) Ist, Abb. 1, PL das Lot des
Satzes b), ist L-*- A-+- B-*~C der eine
Durchlauf ungssinn von g und ist <£. APB
= V BPC, dann ist AB < BC*).
2. Bei der Fortsetzung des Axiomensystems der absoluten
Geometrie über die genannten drei Axiomgruppen hinaus muß man
das System FIilberts, das als Axiomgruppe IV das Euklidische
Parallelenaxiom, als V die Stetigkeitsaxiome ^Archimedisches
Axiom und Vollständigkeitsaxiom) enthält, durch Weglassen des
Parallelenaxioms abändern. Da aber Hilberts Vollständigkeits-
axiom das Parallelenaxiom voraussetzt3), liegt es nahe, das Voll-
x) Eine ziemlich vollständige Aufzählung der bekannten elementargeome-
trischen Sätze, die sich so beweisen lassen, enthält meine „Nichteuklidische
Geometrie“ (weiterhin zitiert als „N. G.“), Sammlung Göschen 1927, auf S. 33
bis 39.
2) Herr G. Feige hat in einer Note „Über das Archimedische Axiom“,
Math. Zeitschr. 25 (1926) S. 590—601 bewiesen, daß aus den Axiomgruppen
I—III die Äquivalenz der Archimedischen Aussage für Strecken mit der für
Winkel folgt. In einer ebenso betitelten Note habe ich Bd. 26 (1927) der gleichen
Zeitschrift S. 757—761 einen wesentlich einfacheren Beweis dieser Tatsache
mittels des Satzes g) angegeben. Nachträglich bemerke ich, daß der von Herrn
Feige bewiesene Satz bekannt ist, ebenso der von mir dafür gegebene Beweis,
vgl. z. B. Stolz-Gmeiner, „Theoretische Arithmetik“ 1. Aufl. (1902) S. 110,
2. Aufl. II. (1915) S. 15—16. Schon bei G. Veronese, „Elementi di Geometria“
II (1900) S. 77—78 finden sich Ausführungen, die sich leicht so verändern lassen,
daß aus ihnen der Satz und mein Beweis folgt.
3) „Grundlagen der Geometrie“ 6. Aufl. (1922) S. 22.