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https://doi.org/10.11588/diglit.43604#0009
Zur Axiomatik der Geometrie III.
9
Geometrie vor, in welcher die Axiomgruppen I—III
gelten. Dann gibt es zu jeder Strecke in dieser Geome-
trie eine kleinere, zu der sich die erste Strecke Nicht-
archimedisch verhält.
7. Eine direkte Folgerung aus dem Satz A ist die Tatsache,
daß man in jeder nicht-linearen Geometrie, in welcher die Axiom-
gruppen I—III gelten — so in der absoluten, Euklidischen, hyper-
bolischen Geometrie —, das Archimedische Axiom in der folgenden,
gegenüber der Hilbert sehen Fassung verschärften Form einführen
kann:
Archimedisches Axiom der absoluten Geometrie. Es gibt
eine Strecke AB von folgender Art: Ax sei ein beliebiger
innerer Punkt von AB; man konstruiere dann die Punkte
A2, A3, . so, daß zwischen A und A2 liegt, ferner A2
zwischen Ar und A3, ferner A3 zwischen A2 und usw.,
und daß überdies die Strecken AAlf ArA2, A2A3, A3A^ . . .
kongruent sind, dann gibt es in der Reihe der Punkte
A2, A3, Ai . . . stets einen solchen Punkt An, daß B zwi-
schen Ar und An liegt.
Es ist mir noch nicht gelungen, in ähnlicher Weise auch die
zweite der nach dem Anfänge von Nr. 5 in der Euklidischen Geo-
metrie geltenden Tatsachen auf die absolute Geometrie zu über-
tragen und damit zu zeigen, daß es auch genügt, im Archimedischen
Axiom eine einzige Strecke zu fordern, die sich zu jeder größeren
Archimedisch verhält, woraus eine andere verschärfte Form dieses
Axioms folgen würde. Man müßte dazu zeigen, daß eine Strecke,
die sich gegenüber jeder größeren Archimedisch verhält, dies ver-
möge der Axiomgruppen I—III auch gegenüber jeder kleineren
tut. Es ist daher noch nicht klargestellt, ob aus den Axiom-
gruppen I—III und der Existenz einer Einheitsstrecke, bei deren
Wahl keine Strecke aktual unendlich groß wird, der endliche
Charakter aller Strecken bei beliebiger Wahl der Einheitsstrecke
folgt.
diesen Axiomen in dem Sinne verträglich sein, daß sie ihnen und ihren Folge-
rungen (die auch lineare Aussagen enthalten können) nicht widerspricht, trotzdem
wird man sie nicht als eine Deutung dieser A-xiomgruppen ansprechen, da
man naturgemäß an eine Deutung eines Axiomensystems die Forderung stellen
wird, daß jedes Axiom bei der Deutung wirklich benötigt und erfüllt wird, d. h.
daß es Dinge in dieser Deutung gibt, welche dem Axiom genügen.
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Geometrie vor, in welcher die Axiomgruppen I—III
gelten. Dann gibt es zu jeder Strecke in dieser Geome-
trie eine kleinere, zu der sich die erste Strecke Nicht-
archimedisch verhält.
7. Eine direkte Folgerung aus dem Satz A ist die Tatsache,
daß man in jeder nicht-linearen Geometrie, in welcher die Axiom-
gruppen I—III gelten — so in der absoluten, Euklidischen, hyper-
bolischen Geometrie —, das Archimedische Axiom in der folgenden,
gegenüber der Hilbert sehen Fassung verschärften Form einführen
kann:
Archimedisches Axiom der absoluten Geometrie. Es gibt
eine Strecke AB von folgender Art: Ax sei ein beliebiger
innerer Punkt von AB; man konstruiere dann die Punkte
A2, A3, . so, daß zwischen A und A2 liegt, ferner A2
zwischen Ar und A3, ferner A3 zwischen A2 und usw.,
und daß überdies die Strecken AAlf ArA2, A2A3, A3A^ . . .
kongruent sind, dann gibt es in der Reihe der Punkte
A2, A3, Ai . . . stets einen solchen Punkt An, daß B zwi-
schen Ar und An liegt.
Es ist mir noch nicht gelungen, in ähnlicher Weise auch die
zweite der nach dem Anfänge von Nr. 5 in der Euklidischen Geo-
metrie geltenden Tatsachen auf die absolute Geometrie zu über-
tragen und damit zu zeigen, daß es auch genügt, im Archimedischen
Axiom eine einzige Strecke zu fordern, die sich zu jeder größeren
Archimedisch verhält, woraus eine andere verschärfte Form dieses
Axioms folgen würde. Man müßte dazu zeigen, daß eine Strecke,
die sich gegenüber jeder größeren Archimedisch verhält, dies ver-
möge der Axiomgruppen I—III auch gegenüber jeder kleineren
tut. Es ist daher noch nicht klargestellt, ob aus den Axiom-
gruppen I—III und der Existenz einer Einheitsstrecke, bei deren
Wahl keine Strecke aktual unendlich groß wird, der endliche
Charakter aller Strecken bei beliebiger Wahl der Einheitsstrecke
folgt.
diesen Axiomen in dem Sinne verträglich sein, daß sie ihnen und ihren Folge-
rungen (die auch lineare Aussagen enthalten können) nicht widerspricht, trotzdem
wird man sie nicht als eine Deutung dieser A-xiomgruppen ansprechen, da
man naturgemäß an eine Deutung eines Axiomensystems die Forderung stellen
wird, daß jedes Axiom bei der Deutung wirklich benötigt und erfüllt wird, d. h.
daß es Dinge in dieser Deutung gibt, welche dem Axiom genügen.