DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43604#0012
12
Richard Baldus: Zur Axiomatik der Geometrie III.
11. Satz B sagt aus, claß man in jeder Archimedischen Geo-
metrie das Cantor sehe Axiom als reines Anordnungsaxiom aus-
sprechen kann, etwa in folgender Form1):
Cantorsches Axiom in Archimedischen Geometrien. Liegt in
einer Geraden eine unendliche Folge von Strecken AVBP
derart, daß jede dieser Strecken ihre Endpunkte inner-
halb der vorhergehenden hat und daß es keine Strecke
auf der Geraden gibt, die innerhalb aller Strecken ArBu
liegt, dann gibt es einen Punkt, der innerhalb aller
Strecken AVBV liegt.
Das Cantor sehe Axiom in der üblichen Form ist zwar nach
Nr. 8 in gewisser Beziehung einfacher als das Dedekind sehe, ge-
hört aber trotzdem in der Hierarchie der Axiome zu einer kompli-
zierteren Gruppe als das Dedekind sehe, da es den Kongruenz-
begriff voraussetzt. In der neuen Fassung als reines Anordnungs-
axiom ist es wesentlich und über das Dedekind sehe hinaus verein-
facht2). Jetzt enthält von den beiden Stetigkeitsaxiomen jeder
Archimedischen Geometrie das eine, nämlich das modifizierte
CANTORsche, eine reine Anordnungsaussage, das andere, nämlich
das Archimedische, hat metrischen Charakter.
Die Reihenfolge der beiden Axiome ist dabei gleichgültig, man
kann z. B. in der absoluten Geometrie das modifizierte CANTORsche
Axiom schon bei den Anordnungsaxiomen einführen und dann das
Axiomensystem damit abschließen, daß man durch das Archi-
medische Axiom (in der verschärften Form von Nr. 7) die End-
lichkeit aller Streckenlängen garantiert.
Karlsruhe, im März 1930.
b Diese Formulierung ist sprachlich einfacher als clie mit ihr sachlich zu-
sammenfallende in N. G., S. 44. Dort fehlt der hier gelieferte Nachweis der Über-
einstimmung mit der üblichen Form des Axioms. Man kann natürlich auch die
soeben gegebene Formulierung des Cantor sehen Axioms auf eine einzige Gerade
beschränken, wenn die im gleichen Axiomensystem . auftretenden Kongruenz-
axiome die Übertragung auf beliebige Gerade ermöglichen.
2) Daß die neue Form des Cantor sehen Axioms weniger fordert als die
übliche, ergibt sich daraus, daß nach Nr. 9 zwar ß) aus a) folgt, aber nicht
umgekehrt a) aus ß), d. h. es gibt Streckenfolgen -— z. B. in der Deutung
Veroneses —, welche der neuen Form des Axioms genügen, aber nicht der
alten. Erst vermöge des Archimedischen Axioms tragen beide Formen gleich weit.
Richard Baldus: Zur Axiomatik der Geometrie III.
11. Satz B sagt aus, claß man in jeder Archimedischen Geo-
metrie das Cantor sehe Axiom als reines Anordnungsaxiom aus-
sprechen kann, etwa in folgender Form1):
Cantorsches Axiom in Archimedischen Geometrien. Liegt in
einer Geraden eine unendliche Folge von Strecken AVBP
derart, daß jede dieser Strecken ihre Endpunkte inner-
halb der vorhergehenden hat und daß es keine Strecke
auf der Geraden gibt, die innerhalb aller Strecken ArBu
liegt, dann gibt es einen Punkt, der innerhalb aller
Strecken AVBV liegt.
Das Cantor sehe Axiom in der üblichen Form ist zwar nach
Nr. 8 in gewisser Beziehung einfacher als das Dedekind sehe, ge-
hört aber trotzdem in der Hierarchie der Axiome zu einer kompli-
zierteren Gruppe als das Dedekind sehe, da es den Kongruenz-
begriff voraussetzt. In der neuen Fassung als reines Anordnungs-
axiom ist es wesentlich und über das Dedekind sehe hinaus verein-
facht2). Jetzt enthält von den beiden Stetigkeitsaxiomen jeder
Archimedischen Geometrie das eine, nämlich das modifizierte
CANTORsche, eine reine Anordnungsaussage, das andere, nämlich
das Archimedische, hat metrischen Charakter.
Die Reihenfolge der beiden Axiome ist dabei gleichgültig, man
kann z. B. in der absoluten Geometrie das modifizierte CANTORsche
Axiom schon bei den Anordnungsaxiomen einführen und dann das
Axiomensystem damit abschließen, daß man durch das Archi-
medische Axiom (in der verschärften Form von Nr. 7) die End-
lichkeit aller Streckenlängen garantiert.
Karlsruhe, im März 1930.
b Diese Formulierung ist sprachlich einfacher als clie mit ihr sachlich zu-
sammenfallende in N. G., S. 44. Dort fehlt der hier gelieferte Nachweis der Über-
einstimmung mit der üblichen Form des Axioms. Man kann natürlich auch die
soeben gegebene Formulierung des Cantor sehen Axioms auf eine einzige Gerade
beschränken, wenn die im gleichen Axiomensystem . auftretenden Kongruenz-
axiome die Übertragung auf beliebige Gerade ermöglichen.
2) Daß die neue Form des Cantor sehen Axioms weniger fordert als die
übliche, ergibt sich daraus, daß nach Nr. 9 zwar ß) aus a) folgt, aber nicht
umgekehrt a) aus ß), d. h. es gibt Streckenfolgen -— z. B. in der Deutung
Veroneses —, welche der neuen Form des Axioms genügen, aber nicht der
alten. Erst vermöge des Archimedischen Axioms tragen beide Formen gleich weit.