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https://doi.org/10.11588/diglit.43604#0011
Zur Axiomatik der Geometrie III.
11
a) Die Längen der Strecken AVBV sollen mit wachsendem v
gegen Null konvergieren.
ß) Es soll auf der Geraden keine Strecke geben, die innerhalb
aller Strecken AVBV liegt
gleich weit?
Es ist ohne weiteres klar, daß mit a) auch ß) erfüllt ist. Dagegen
zeigt in der Veronese sehen Deutung von Nr. 3 die Streckenfolge
AVBV der Abb. 2, wenn man etwa AAr als Einheitsstrecke wählt,
daß hier zwar ß\ aber nicht a) erfüllt ist.
10. Wir wollen nun zeigen, daß die vollständige Übereinstim-
mung der Forderungen et) und ßj durch das Archimedische Axiom
hergestellt wird. Angenommen, das Archimedische Axiom gelte
und die Streckenfolge A^B^ erfülle die Forderung ß~) ■ s sei eine be-
liebig vorgegebene Strecke. Dann läßt sich indirekt beweisen,
daß unter den Strecken AyBr eine auf tritt, die kleiner ist als s.
Wäre dies nämlich nicht der Fall, dann wären
alle A^B,, > s (1),
denn aus ApBp = s würde Ap + 1Bp + 1 < s folgen. Wir würden
nun irgendeine Strecke AqBq der Folge herausgreifen, dann gäbe,
es wegen des Archimedischen Axioms und wegen (1) eine natür
liehe Zahl a derart, daß AqBq < (cf + 1) s wäre. Nun wären ent-
weder alle A„By > a • s oder nicht. Im zweiten Falle gäbe es ein
<a - s und es wären entweder alle A^B^ > (a—1) s oder nicht.
So könnte man fortschließen und käme wegen (1) spätestens nach
a—1 Schritten zu einer natürlichen Zahl m derart, daß es
ein AnBn < (m + 1) s (2) gäbe und daß
alle A^B^ > m • s (3) wären. Dann wäre in
Abb. 4 wegen (2) die Strecke PBn < s, ebenso wäre AnQ < s und
wegen (3) müßten alle Strecken A^B^ mit
v> n ihren linken Endpunkt in der Strecke
AnQ, ihren rechten in PBn haben, somit Abb. 4.
würde die Strecke PQ innerhalb aller
Strecken ArB„ liegen, im Widerspruch mit der vorausgesetzten
Eigenschaft ß).
Zu einer beliebig klein vorgegebenen Strecke s gibt es demnach
in der monoton abnehmenden Streckenfolge A^B^ eine kleinere, d. h.
B. In jeder Archimedischen Geometrie sind die
Forderungen a) und ß) äquivalent.
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a) Die Längen der Strecken AVBV sollen mit wachsendem v
gegen Null konvergieren.
ß) Es soll auf der Geraden keine Strecke geben, die innerhalb
aller Strecken AVBV liegt
gleich weit?
Es ist ohne weiteres klar, daß mit a) auch ß) erfüllt ist. Dagegen
zeigt in der Veronese sehen Deutung von Nr. 3 die Streckenfolge
AVBV der Abb. 2, wenn man etwa AAr als Einheitsstrecke wählt,
daß hier zwar ß\ aber nicht a) erfüllt ist.
10. Wir wollen nun zeigen, daß die vollständige Übereinstim-
mung der Forderungen et) und ßj durch das Archimedische Axiom
hergestellt wird. Angenommen, das Archimedische Axiom gelte
und die Streckenfolge A^B^ erfülle die Forderung ß~) ■ s sei eine be-
liebig vorgegebene Strecke. Dann läßt sich indirekt beweisen,
daß unter den Strecken AyBr eine auf tritt, die kleiner ist als s.
Wäre dies nämlich nicht der Fall, dann wären
alle A^B,, > s (1),
denn aus ApBp = s würde Ap + 1Bp + 1 < s folgen. Wir würden
nun irgendeine Strecke AqBq der Folge herausgreifen, dann gäbe,
es wegen des Archimedischen Axioms und wegen (1) eine natür
liehe Zahl a derart, daß AqBq < (cf + 1) s wäre. Nun wären ent-
weder alle A„By > a • s oder nicht. Im zweiten Falle gäbe es ein
<a - s und es wären entweder alle A^B^ > (a—1) s oder nicht.
So könnte man fortschließen und käme wegen (1) spätestens nach
a—1 Schritten zu einer natürlichen Zahl m derart, daß es
ein AnBn < (m + 1) s (2) gäbe und daß
alle A^B^ > m • s (3) wären. Dann wäre in
Abb. 4 wegen (2) die Strecke PBn < s, ebenso wäre AnQ < s und
wegen (3) müßten alle Strecken A^B^ mit
v> n ihren linken Endpunkt in der Strecke
AnQ, ihren rechten in PBn haben, somit Abb. 4.
würde die Strecke PQ innerhalb aller
Strecken ArB„ liegen, im Widerspruch mit der vorausgesetzten
Eigenschaft ß).
Zu einer beliebig klein vorgegebenen Strecke s gibt es demnach
in der monoton abnehmenden Streckenfolge A^B^ eine kleinere, d. h.
B. In jeder Archimedischen Geometrie sind die
Forderungen a) und ß) äquivalent.