Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Sphärische und hyperbolische Vielecke.

Die zwei Gleichungen des Fünfecks ergeben sich hieraus zur
Bestätigung. Wenn man eine Seite Null werden läßt, dann wird
gleichzeitig der gegenüberliegende Winkel
Die Verallgemeinerung auf n = 2 m + 1 bietet keinerlei
Schwierigkeiten. Wie hier beim Siebeneck die komplementären
Figuren gebildet werden durch die überschlagenen Siebenecke
zweiter und dritter Ordnung, so sind es beim (2 m + 1)-Eck die
überschlagenen Polygone (m—- l)ter und mter Ordnung.
Bei zunehmendem n nähern sich die Polygone immer mehr

dem Kreise mit dem Durchmesser

TT

(große Diagonale).

Im Grenz¬

fall ergibt sich ein Kreis mit dem Radius —, der von unendlich

vielen Zweiecken mit dem Winkel — umhüllt wird, es wird also
2
7C
gerade die Halbkugel bedeckt. Dieser Radius —muß sich aus Glei¬
chung 1 ergeben, wenn darin i und u als Kreisinhalt und Umfang
angesehen werden. Also:

sin2

2 sin2 — = 1 — sin r. in der Tat:
2

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~ T
Die Erweiterung des Begriffes komplementärer Figuren be-
ruht auf der Auffassung, diejenigen Figuren in Betracht zu
ziehen, die das Stammpolygon zum Zweieck ergänzen, also beim
Fünfeck neben dem Dreieck nicht das Stumpfeck, sondern das
Viereck mit einer einspringenden Ecke.

§ 2. Hyperbolische rechtwinklige Polygone.
Den polaren Vielecken entsprechen hier die rechtwinkligen
Vielecke ungerader Seitenzahl. Ihre Zusammenhänge mit den
komplementären Figuren werden vermittelt durch nullwinklige
Polygone. Das ist verständlich, denn den sphärischen Geraden der
Länge % entsprechen unendlich lange Gerade.