Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Sphärische und hyperbolische Vielecke.

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Der Zusammenhang ist also ähnlich wie zum sphärischen Drei¬

eck, denn der ist:

cos y =

1
ch c' ’

cos v
cos =—--.
ch c

Die Gegenüberstellung Dreieck — Sechseck enthält nicht als
Spezialfall rechtwinkliges Dreieck — Fünfeck, denn sobald ein
n
Winkel im Dreieck — wird, werden zwei Sechseckseiten unendlich,
und aus dieser Figur entsteht das überschlagene Sechseck, wenn
der Winkel stumpf wird.
Wohl aber ist das Fünfeck enthalten in der Beziehung: hyper-
bolisches Dreieck — sphärisches Dreieck und ebenso in der zwischen
hyperbolischem Dreieck und vier-rechtwinkligem Fünfeck. Die
Gleichungen und Zusammenhänge werden besonders einfach, wenn
man sich ganz der elliptischen Funktionen bedient.
Seien gegeben das sphärische Dreieck a v ß 2 y //, das hyper-
bolische cd 1'j b' 2X c' /z1 und das rechtwinklige Sechseck ax ( — Z')
n'x bx l'T cx m\, so lauten die Gleichungen:
1. cos y — cos a cos ß + sin a sin ß cos v,
2. ch c' — ch a' ch b' — sh a' sh b' cos rx,
3. ch c1 = sh ax sh bx ch n\ — ch a3 ch bx.
Hierzu die Gleichung, die in Fall 1 und 2 den Winkelsätzen
entspricht:
3a) ch n\ = sh l\ sh m\ ch cx — ch l\ ch
In elliptischen Funktionen lautet 1:
4. cn w = cn u cn v + sn u sn v dn w.

2 und 3 gehen in 4 über durch die Substitutionen:

ch cd =-
cn u
dn u
cos 2X =-
cn u

und b)

ch ax

1
dn u ’

ch l\

cn u
dn u

Aus 3 und b folgt:
1 k2 sn u sn v cn w
dn w dn u dn v dn w

1
dn u dn v'

5. dn ic dn v = k2 sn u sn v cn w — dn w.