DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43635#0004
4
R. Mehmke:
und 5 den Schwerpunkt, so lassen sich bei Benützung des Grass-
MANNschen Zeichens | für das innere Produkt zweier Vektoren,
die Bedingungen dafür, daß der Vektor ha und derjenige von m nach
dem Mittelpunkt der Seite bc beide auf dem Vektor cb senkrecht
stehen, durch die Gleichungen ausdrücken:
(1) (a — h) | (b — c) = 0,
(2) (b + c — 2m) (b — c) = 0.
Addiert man beide Gleichungen, so kommt wegen
a —b c == 35,
(3) (35 — h — 2m) \ (b —- c) =0.
Zwei ebensolche Gleichungen wie (3) gelten für die Seiten ca und
ab, wobei der Ausdruck in der ersten Klammer jedesmal derselbe ist.
Wäre dieser von Null verschieden, so stellte er einen Vektor in der
Ebene des Dreiecks vor, der auf allen drei Seiten des Dreiecks
zugleich senkrecht stände. Er muß daher verschwinden, oder man
hat 35 = h + 2m,
d. h. 5 liegt auf der Strecke hm und teilt sie im Verhältnis 2: 1.
3. Welchen Sinn erhalten die Gleichungen (1), (2) und (3)
in der hyperbolischen Geometrie ? 3) Es stellt in ihr (b—c) den
äußeren Halbierungspunkt der Strecke bc vor. Er ist — wenn wir
uns der Kürze wegen auf den Fall beschränken, daß alle drei Punkte
a, b und c innerhalb des absoluten Kegelschnitts liegen, „Feld-
punkte“ sind (mit Herrn Liebmann 4) zu reden) — ein Punkt
außerhalb des absoluten Kegelschnitts, ein „Überpunkt“ (wieder
nach Herrn Liebmann). Ferner bedeutet (b — c) die absolute
Polare jenes Punktes, also die Senkrechte zu bc durch den inneren
Mittelpunkt (b + c) der Strecke bc, ihr Mittellot, das durch L be-
zeichnet werde. Gig. (1) liefert jetzt aber nicht mehr die durch a
gehende Höhe des Dreiecks, denn setzt man darin für h einen ver-
änderlichen Punkt x mit dem konstanten Zahlwert 1 und schreibt
sie in der Form
3) Der allgemeinsten CAYLEY-KLEiNschen projektiven Maßbestimmung
angepaßt worden ist Grassmanns Punktrechnung schon 1882 von Homersham
Cox, Trans. Cambridge Phil. Soc. vol. XIII part II. Sehr ausführlich behandelt
findet man diese Form der Punktrechnung bei A. N. Whitehead, Universal
Algebra, I, Cambridge 1898, Book VI. Eine neuere Darstellung ist die von
A. Lotze, „Punktrechnung und nichteuklidische Geometrie“, Festschrift des
Karlsgymnasiums in Stuttgart, 1931.
i) II. Liebmann, Nichteuklidische Geometrie, 3. Auflage 1923, S. 28.
R. Mehmke:
und 5 den Schwerpunkt, so lassen sich bei Benützung des Grass-
MANNschen Zeichens | für das innere Produkt zweier Vektoren,
die Bedingungen dafür, daß der Vektor ha und derjenige von m nach
dem Mittelpunkt der Seite bc beide auf dem Vektor cb senkrecht
stehen, durch die Gleichungen ausdrücken:
(1) (a — h) | (b — c) = 0,
(2) (b + c — 2m) (b — c) = 0.
Addiert man beide Gleichungen, so kommt wegen
a —b c == 35,
(3) (35 — h — 2m) \ (b —- c) =0.
Zwei ebensolche Gleichungen wie (3) gelten für die Seiten ca und
ab, wobei der Ausdruck in der ersten Klammer jedesmal derselbe ist.
Wäre dieser von Null verschieden, so stellte er einen Vektor in der
Ebene des Dreiecks vor, der auf allen drei Seiten des Dreiecks
zugleich senkrecht stände. Er muß daher verschwinden, oder man
hat 35 = h + 2m,
d. h. 5 liegt auf der Strecke hm und teilt sie im Verhältnis 2: 1.
3. Welchen Sinn erhalten die Gleichungen (1), (2) und (3)
in der hyperbolischen Geometrie ? 3) Es stellt in ihr (b—c) den
äußeren Halbierungspunkt der Strecke bc vor. Er ist — wenn wir
uns der Kürze wegen auf den Fall beschränken, daß alle drei Punkte
a, b und c innerhalb des absoluten Kegelschnitts liegen, „Feld-
punkte“ sind (mit Herrn Liebmann 4) zu reden) — ein Punkt
außerhalb des absoluten Kegelschnitts, ein „Überpunkt“ (wieder
nach Herrn Liebmann). Ferner bedeutet (b — c) die absolute
Polare jenes Punktes, also die Senkrechte zu bc durch den inneren
Mittelpunkt (b + c) der Strecke bc, ihr Mittellot, das durch L be-
zeichnet werde. Gig. (1) liefert jetzt aber nicht mehr die durch a
gehende Höhe des Dreiecks, denn setzt man darin für h einen ver-
änderlichen Punkt x mit dem konstanten Zahlwert 1 und schreibt
sie in der Form
3) Der allgemeinsten CAYLEY-KLEiNschen projektiven Maßbestimmung
angepaßt worden ist Grassmanns Punktrechnung schon 1882 von Homersham
Cox, Trans. Cambridge Phil. Soc. vol. XIII part II. Sehr ausführlich behandelt
findet man diese Form der Punktrechnung bei A. N. Whitehead, Universal
Algebra, I, Cambridge 1898, Book VI. Eine neuere Darstellung ist die von
A. Lotze, „Punktrechnung und nichteuklidische Geometrie“, Festschrift des
Karlsgymnasiums in Stuttgart, 1931.
i) II. Liebmann, Nichteuklidische Geometrie, 3. Auflage 1923, S. 28.