Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Zu der in den „Sitzungsberichten der Heidelberger Akademie
der Wissenschaften“ erschienenen Abhandlung von Herrn
R. Baldus: „Zur Axiomatik der Geometrie III“1) seien einige
Bemerkungen gemacht. Es seien zunächst einige kurze Bezeich-
nungen verabredet:
Eine Geometrie, deren Punkte sich auf einer Geraden im Sinne
der Zwischenbeziehung linear derart anordnen lassen, daß zwischen
je zwei Punkten ein weiterer liegt, in der die HiLBERTSchen linearen
Kongruenzaxiome (in der neuesten Fassung) gelten und die Strecken-
abtragung eindeutig ist (d. h. in der die HiLBERTSchen linearen
Axiome der Gruppen I—III in der ursprünglichen Fassung gelten),
heiße eine lineare metrische Geometrie. Eine Geometrie, deren sämt-
liche Punkte in einer Ebene liegen und in der die HiLBERTSchen
Axiome I 1—3, II, III (in der neuesten Fassung) gelten, heiße
eine ebene metrische Geometrie. Eine Geometrie, in der alle HiLBERT-
Schen Axiome I—III gelten, heiße eine räumliche metrische Geo-
metrie. Die linearen, ebenen und räumlichen metrischen Geometrien
seien unter dem Namen metrische Geometrien zusammengefaßt. Gilt
in einer metrischen Geometrie das Archimedische Axiom, so heiße
sie archimedisch.
1. Im zweiten Teil der genannten Arbeit wird ein Satz B
bewiesen, der sich mit den hier eingeführten Bezeichnungen wie
folgt formulieren läßt:
In jeder archimedischen Geometrie konvergieren die Längen einer
Folge von Strecken, deren jede auf der vorhergehenden liegt, gegen
Null, sobald es keine Strecke gibt, die auf allen Strecken der Folge
liegt.
Dieser Satz läßt sich auch so beweisen. In jeder metrischen
Geometrie sind Strecken auf ihre Größen hin vergleichbar. Weiter
lassen sich „linke“ und „rechte“ Streckenendpunkte unterscheiden.

x) Math.-naturw. Klasse, Jahrg. 1930, 5. Abhandlung.

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