Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die Stetigkeit in der absoluten Geometrie

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Zunächst ist evident, daß aus den beiden letztgenannten Axi-
omen die topologische Fassung folgt.
Beweis der Umkehrung. Auf einer Geraden g sei eine Strecken-
folge vorgelegt, deren jede Strecke auf der vorhergehenden liegt
und zu der es keine Strecke gibt, die auf allen Strecken der Folge
liegt. Wie vorhin (Nr. 1) seien die linken Streckenendpunkte mit
Arl die rechten mit Bv bezeichnet. Zu irgendeiner vorgelegten Länge
s sei wie vorhin eine Länge ermittelt. Auf Grund der topo¬
logischen Fassung des CANTORSchen Axioms gibt es einen Punkt C,
der auf allen Strecken der Folge liegt. Von C aus werde auf g nach
beiden Seiten t abgetragen; da keine der beiden hierdurch be-
stimmten Strecken auf allen Strecken der Folge liegt, enthält die
linke Strecke von einem gewissen Index ab alle Ap, die rechte
von einem Index ab alle Bv. Daher sind vom größeren dieser
beiden Indizes ab alle Strecken AvBr kleiner als b.
Man kann den hiermit bewiesenen Satz auch so formulieren:
Ist in irgendeiner metrischen Geometrie die topologische Fassung
des Cantorschen Axioms gültig, so ist ihre Prämisse derjenigen der
üblichen Fassung äquivalentx).
Der obige Beweis in Verbindung mit dem der Nr. 1 liefert die
BALDUSsche Behauptung wieder, daß in einer archimedischen
Geometrie die topologische Fassung des CantoRschen Axioms der
metrischen äquivalent sei. Zur Auswertung dieser Äquivalenz ist
zu bemerken:
In der letzten Fußnote der BALDUSschen Abhandlung wird ge-
sagt, die neue (topologische) Fassung des CANTORSchen Axioms
fordere weniger als die übliche; denn aus der Eigenschaft einer
Streckenfolge „die Längen konvergieren gegen Null“ folge die
andere Eigenschaft „es gibt keine Strecke, die auf allen Strecken
der Folge liegt“, nicht aber umgekehrt. Damit ist jedoch gerade
gezeigt, daß die topologische Fassung mehr fordert (was übrigens
bei der hier gegebenen Formulierung der beiden Fassungen evident
ist). Es bleibt daher auch noch unentschieden, ob nicht in
einer linearen, ebenen oder räumlichen metrischen Geometrie aus

Ich verdanke Herrn Professor Bernays den Hinweis, daß der Satz,
den ich ursprünglich in dieser Weise formuliert hatte, sich auch wie weiter
oben angegeben als Äquivalenz von Axiomen aussprechen läßt..