DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43630#0007
Die Stetigkeit in der absoluten Geometrie
7
handlung „Zur Axiomatik der Geometrie II“ x)), die entsprechende
Zurückführung auf das zweite engere Archimedische Axiom sei
ihm bislang nicht gelungen. Diese Zurückführung ist tatsächlich
unmöglich, wie man mit Hilfe der von Dehn s. Zt. unter an-
deren Gesichtspunkten behandelten semi-euklidischen Geometrie 1 2)
erkennt. Dehn zeigte, daß in dieser Geometrie die linearen und
ebenen Axiome der Gruppen I—III gelten. Die Einheitsstrecke
dieser Geometrie verhält sich nun zu jeder größeren Strecke
archimedisch, hingegen verhält sich eine Strecke der Länge
1 . . . . .
— nicht zur Einheitsstrecke archimedisch. (Die Übertragung der
von Dehn angegebenen semi-euklidischen Geometrie auf den Raum
ist trivial.) Mithin gilt:
In einer ebenen oder räumlichen metrischen Geometrie ist das
Archimedische Axiom noch unabhängig von dem engeren Axiom: Es
gibt eine Strecke, die sich zu jeder größeren archimedisch verhält.
Bezeichnet man jede (ebene oder räumliche) metrische Geo-
metrie, in der das Parallelenaxiom nicht gilt, in der aber die Winkel-
summe eines Dreiecks einen gestreckten Winkel ausmacht, als semi-
euklidisch, so gilt das erste engere Archimedische Axiom in
keiner semi-euklidischen Geometrie 3). Dieses zieht nämlich nach
1) Atti d. Congresso int. d. Mat. Bologna 1928, Bd. IV 1931.
2) M. Dehn, Die LEGENDREschen Sätze über die Winkelsumme im Drei-
eck, §9; Math. Ann. Bd. 53.
3) Wie sich nach Abfassung dieser Note in einem Gespräch mit Herrn
Professor Bernays herausstellte, gilt dagegen nicht der entsprechende Satz,
daß jede semi-euklidische Geometrie das zweite engere Archimedische Axiom er-
CO
fülle. Ein Körper möge bestehen aus allen Potenzreihen ETvsn+v mit ganzem
v=0
Anfangsexponenten n, deren Koeffizienten T,, ihrerseits Potenzreihen der Form
CO
z ganzem Anfangsexponenten m und reellen Koeffizienten sind.
Die Rechenoperationen werden wieder in evidenter Weise rein formal aus-
geführt. Mit u und v gehört wiederum | ]/ u2 + p2 ! zum Körper. Für zwei nach
Potenzen von s steigende Potenzreihen u, v gilt u > p, wenn der Anfangskoeffi-
zient der ersten in u — v auftretenden nach Potenzen von« steigenden Potenzreihe
positiv ist. Aus diesem Zahlensystem (das dem der HiLBERTschen nichtpascal-
schen Geometrie ähnelt) läßt sich auf die bereits in Fußnote 1 der vorigen Seite
zitierte Weise eine Geometrie aufbauen, in der alle HiLBERTschen Axiome der
Gruppen I—IV erfüllt sind und mithin die Winkel eines Dreiecks einen Ge-
streckten ausmachen. Ähnlich wie in der ÜEHNschen semi-euklidischen Geo-
metrie schließt man nunmehr ohne Störung der Axiome I—III alle diejenigen
7
handlung „Zur Axiomatik der Geometrie II“ x)), die entsprechende
Zurückführung auf das zweite engere Archimedische Axiom sei
ihm bislang nicht gelungen. Diese Zurückführung ist tatsächlich
unmöglich, wie man mit Hilfe der von Dehn s. Zt. unter an-
deren Gesichtspunkten behandelten semi-euklidischen Geometrie 1 2)
erkennt. Dehn zeigte, daß in dieser Geometrie die linearen und
ebenen Axiome der Gruppen I—III gelten. Die Einheitsstrecke
dieser Geometrie verhält sich nun zu jeder größeren Strecke
archimedisch, hingegen verhält sich eine Strecke der Länge
1 . . . . .
— nicht zur Einheitsstrecke archimedisch. (Die Übertragung der
von Dehn angegebenen semi-euklidischen Geometrie auf den Raum
ist trivial.) Mithin gilt:
In einer ebenen oder räumlichen metrischen Geometrie ist das
Archimedische Axiom noch unabhängig von dem engeren Axiom: Es
gibt eine Strecke, die sich zu jeder größeren archimedisch verhält.
Bezeichnet man jede (ebene oder räumliche) metrische Geo-
metrie, in der das Parallelenaxiom nicht gilt, in der aber die Winkel-
summe eines Dreiecks einen gestreckten Winkel ausmacht, als semi-
euklidisch, so gilt das erste engere Archimedische Axiom in
keiner semi-euklidischen Geometrie 3). Dieses zieht nämlich nach
1) Atti d. Congresso int. d. Mat. Bologna 1928, Bd. IV 1931.
2) M. Dehn, Die LEGENDREschen Sätze über die Winkelsumme im Drei-
eck, §9; Math. Ann. Bd. 53.
3) Wie sich nach Abfassung dieser Note in einem Gespräch mit Herrn
Professor Bernays herausstellte, gilt dagegen nicht der entsprechende Satz,
daß jede semi-euklidische Geometrie das zweite engere Archimedische Axiom er-
CO
fülle. Ein Körper möge bestehen aus allen Potenzreihen ETvsn+v mit ganzem
v=0
Anfangsexponenten n, deren Koeffizienten T,, ihrerseits Potenzreihen der Form
CO
z ganzem Anfangsexponenten m und reellen Koeffizienten sind.
Die Rechenoperationen werden wieder in evidenter Weise rein formal aus-
geführt. Mit u und v gehört wiederum | ]/ u2 + p2 ! zum Körper. Für zwei nach
Potenzen von s steigende Potenzreihen u, v gilt u > p, wenn der Anfangskoeffi-
zient der ersten in u — v auftretenden nach Potenzen von« steigenden Potenzreihe
positiv ist. Aus diesem Zahlensystem (das dem der HiLBERTschen nichtpascal-
schen Geometrie ähnelt) läßt sich auf die bereits in Fußnote 1 der vorigen Seite
zitierte Weise eine Geometrie aufbauen, in der alle HiLBERTschen Axiome der
Gruppen I—IV erfüllt sind und mithin die Winkel eines Dreiecks einen Ge-
streckten ausmachen. Ähnlich wie in der ÜEHNschen semi-euklidischen Geo-
metrie schließt man nunmehr ohne Störung der Axiome I—III alle diejenigen