DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0003
Vollständige irreduzibele Systeme von
Gruppenaxiomen.
Von Reinhold Baer in Halle und Friedrich Levi in Leipzig.
Die Grundgesetze der Gruppenkomposition:
(.1) a = b ■ c
werden wohl am kürzesten beschrieben1) in der Form:
I. In (1) wird jedes Element durch die beiden anderen eindeutig
bestimmt.
II. Die Gruppenkomposition ist assoziativ.
In der Bedingung I sind hierbei drei Existenz- und drei
Unitätsaxiome zusammengedrängt, die voneinander und von II
nicht ganz unabhängig sind. Es ist bekannt 2), daß die beiden
Unitätsaxiome der Division aus den fünf andern Axiomen folgen,
daß also dieses System von fünf Axiomen „vollständig“ ist. Dagegen
scheint die Frage noch nicht endgültig beantwortet worden zu sein,
ob dieses System auch „irreduzibel“ ist, d. h. ob keines seiner
Axiome entbehrt werden kann.
Die folgende Untersuchung liefert die Aufstellung aller voll-
ständigen und irreduzibeln Systeme der in I und II zusammen-
gefaßten sieben Axiome. Unter anderm ergibt sich, daß das er-
wähnte System von fünf Axiomen noch reduziert werden kann 3).
Der Gedankengang ist dabei folgender:
Es werden (§ 2) vier notwendige Bedingungen aufgestellt, denen
*) Vgl. H. Weber, Math. Annalen 20 (1882) S. 302, dort für endliche
Gruppen formuliert: ferner FI. Hasse, Höhere Algebra I (Berlin und Leipzig
1926) S. 51. Ein anderes System von Axiomen z. B. bei A. Loewy in Pascals
Repertorium der höheren Mathematik I, 1 (Berlin und Leipzig 1910) Kap. III,
S. 172. Dort auch reichliche Literaturnachweise. Vgl. auch A. Loewy: Lehr-
buch der Algebra, S. 25.
2) Vgl. z. B. van derWaerden, Moderne Algebra. I. S. 19. (Berlin 1930)
und besonders die Anm.3) zitierte Arbeit von E. V. Huntington.
3) Eine solche Reduktion findet sich bei E. V. Huntington: Note on
the deflnitions of abstract groups and fields by sets of independents postulates,
Transactions of the american mathematical society, 6 (1905) S. 181—197.
Das dort benutzte Assoziativgesetz enthält aber noch entbehrliche Existenz-
forderungen; vgl. Anm. 4).
1*
Gruppenaxiomen.
Von Reinhold Baer in Halle und Friedrich Levi in Leipzig.
Die Grundgesetze der Gruppenkomposition:
(.1) a = b ■ c
werden wohl am kürzesten beschrieben1) in der Form:
I. In (1) wird jedes Element durch die beiden anderen eindeutig
bestimmt.
II. Die Gruppenkomposition ist assoziativ.
In der Bedingung I sind hierbei drei Existenz- und drei
Unitätsaxiome zusammengedrängt, die voneinander und von II
nicht ganz unabhängig sind. Es ist bekannt 2), daß die beiden
Unitätsaxiome der Division aus den fünf andern Axiomen folgen,
daß also dieses System von fünf Axiomen „vollständig“ ist. Dagegen
scheint die Frage noch nicht endgültig beantwortet worden zu sein,
ob dieses System auch „irreduzibel“ ist, d. h. ob keines seiner
Axiome entbehrt werden kann.
Die folgende Untersuchung liefert die Aufstellung aller voll-
ständigen und irreduzibeln Systeme der in I und II zusammen-
gefaßten sieben Axiome. Unter anderm ergibt sich, daß das er-
wähnte System von fünf Axiomen noch reduziert werden kann 3).
Der Gedankengang ist dabei folgender:
Es werden (§ 2) vier notwendige Bedingungen aufgestellt, denen
*) Vgl. H. Weber, Math. Annalen 20 (1882) S. 302, dort für endliche
Gruppen formuliert: ferner FI. Hasse, Höhere Algebra I (Berlin und Leipzig
1926) S. 51. Ein anderes System von Axiomen z. B. bei A. Loewy in Pascals
Repertorium der höheren Mathematik I, 1 (Berlin und Leipzig 1910) Kap. III,
S. 172. Dort auch reichliche Literaturnachweise. Vgl. auch A. Loewy: Lehr-
buch der Algebra, S. 25.
2) Vgl. z. B. van derWaerden, Moderne Algebra. I. S. 19. (Berlin 1930)
und besonders die Anm.3) zitierte Arbeit von E. V. Huntington.
3) Eine solche Reduktion findet sich bei E. V. Huntington: Note on
the deflnitions of abstract groups and fields by sets of independents postulates,
Transactions of the american mathematical society, 6 (1905) S. 181—197.
Das dort benutzte Assoziativgesetz enthält aber noch entbehrliche Existenz-
forderungen; vgl. Anm. 4).
1*