Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer und Friedrich Lf,vt ;

jedes vollständige Axiomsystem der betrachteten Art genügen muß;
hierzu wird die Methode der Gegenbeispiele verwendet. Dann wird
(§3) gezeigt, daß jedes Axiomsystem, das den vier Bedingungen
genügt, auch vollständig ist. Die Axiomsysteme, die vollständig
sind, aber kein vollständiges echtes Teilsystem enthalten, sind
zugleich irreduzibel. Ferner ist jedes in I enthaltene Axiom von
den übrigen abhängig, wenn man II voraussetzt, aber unabhängig,
wenn man auf II verzichtet. In § 4 findet der Spezialfall der end-
lichen Gruppen, in dem die Verhältnisse besonders einfach liegen,
seine Erledigung.
§ I. Die Axiome.
Der Betrachtung liegt eine multiplikative Mannigfaltigkeit
zugrunde, d. h. eine nicht leere Menge von Elementen, in der eine
dreistellige Relation (Multiplikationsformel)
(1) a — b • c
definiert ist. a ist ein Produkt von b und c, ferner b ein linksseitiger
Quotient von a und c, endlich c ein rechtsseitiger Quotient von
a und b. Genügt die Multiplikationsformel den nachstehenden
sieben Gesetzen, so heißt 9K eine Gruppe.

Grt: Zu je 2 Elementen b und
• c gibt
es
mindestens
ein
u,
das (1) erfüllt.
77 77
c „
a „
77
T)
77
(1)
77
b „
77
77
77
C,
77
(1)
77
b „
c „
77
höchstens
77
u,
77
(1)
77
,, ,,
c „
77
77
77
b.
77
(1)
77
IV »
b „
77
77
77
G
7 7.
(1)
77

91: Gibt es in W Elemente (ax ■ a2) • <z3 und Elemente ax ■ (a2 • a3),
so bestimmen diese beiden Produkte denselben Wertevorrat.
®ü, fordern die Existenz des Produkts, bzw. des links¬
seitigen, bzw. des rechtsseitigen Quotienten. Uu, llj, Uc fordern die
Unität des Produkts bzw. des linksseitigen bzw. des rechtsseitigen
Quotienten.
Werden und Ua als richtig vorausgesetzt, so geht 91 in die
bekannte Formel:
(ux • a2) • a3 = • (a2 • «3)
über. Mit der Forderung 91 allein ist es aber durchaus verträglich,
daß die eine Seite dieser Gleichung einen Sinn hat, während die
andere sinnlos ist. Wenn ferner x — ax ■ a2 und y — a2 ■ a3 ist, und
Produkte x • a3 existieren, so folgt aus 91 noch nicht, daß es Pro-
dukte -y gibt. Die Formulierung von 91 ist so gewählt, daß sie