Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Vollständige irreduzibele Systeme von Gruppenaxiomen

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möglichst keine Existenz- und Unitätsaussagen enthält 4). Es ist
für das folgende zweckmäßig, die ersteh sechs Axiome in Form
einer Matrix zusammenzustellen:

(2)

K ub uj-

§ 2. Notwendige Bedingungen für die Vollständigkeit eines Systems
27 von Gruppenaxiomen.
Es sei 27 ein vollständiges Teilsystem der in § 1 aufgestellten
sieben Gruppenaxiome. Dann muß es folgende vier Eigenschaften
haben:
1. 27 enthält das Assoziativgesetz 21.
Beweis: Das durch die nachstehende Kompositionstafel de-
finierte Kompositionsgesetz genügt den sechs Axiomen (2); denn
die Tafel weist in jeder Zeile und jeder Spalte die fünf Zeichen
a, b, c, d, e auf. Dagegen ist die Komposition nicht assoziativ,
denn es ist z. B. (b • c) • d — a, b ■ (c • d) — c.

a
b
c
d
e
a
a
b
c
d
e
b
b
c
d
e
a
c
c
a
e
b
d
d
d
e
b
a
c
e
e
d
a
c
b

2. Z enthält aus jeder Zeile und jeder Spalte von (2) mindestens
ein Axiom.
Beweis: Es wird an Beispielen gezeigt, daß die Gesamtheit
der Axiome einer Zeile oder einer Spalte von (2) nicht aus den
übrigen Axiomen hergeleitet werden kann. Dabei bedeutet * die
Nichtexistenz eines Produkts und (f, g) bedeutet, daß sowohl f als
auch g ein Produkt der am Zeilen- und Spalteneingang angegebenen
Elemente ist.

fg
f
g
f
g
f
g
f
* *
f
(f, g)
(f, g)
f
f
f
f
*
(A g)
g
* *
g
(f, g)
(f, g)
g
g
g
g
(Ag)
*

4) E. V. Huntington (vgl. 1. c. 3) stellt zwei Assoziativpostulate auf,
nämlich: V. Wenn M = a • (b • c) und N = (a ■ b) ■ c ist, so ist M = N. Ferner:
V'. Entweder (1): Wenn b ■ c existiert und N = (a • b) • c ist, so ist N= a- (b • c).
Oder (2): Wenn a ■ b existiert und M = a ■ (b ■ c) ist, so ist M = (a • b) • c.
Es enthält V eine starke Unitätsforderung und V' eine Existenzforderung.
(Forts, der Anm. auf S. 6.)