DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0006
6
Reinhold Baer und Friedrich Levi:
In allen vier Fällen ist das Assoziativgesetz erfüllt, ferner im
ersten Fall: IQ, U&, IQ, im zweiten Fall: QQ, @6, @c, im dritten Fall:
GQ, ®c, IQ, IQ, im vierten Fall: GQ, (2Q, IQ, IQ, während die übrigen
Axiome nicht gelten.
3. A enthält zwei Axiome der ersten Zeile von (2) (Existenzaxiome).
Beweis: a) Für die Multiplikation der ganzen Zahlen gelten
die Existenzaxiome der Division nicht, wohl aber die übrigen
Axiome. Es muß deshalb mindestens ein Existenzaxiom für einen
Quotienten (GQ oder (Q) gefordert werden* * * 5 * *).
b) Es ist noch zu zeigen, daß ein Existenzaxiom für einen
Quotienten nebst den drei Unitätsaxiomen und dem Assoziativ-
gesetz noch kein vollständiges System ergibt. Das geschieht durch
folgendes Beispiel einer multiplikativen Mannigfaltigkeit, in der
21, (Q, Ua, Uö, IQ, nicht aber &a und (Q gelten:
Die Elemente von ük und ihre Komposition werden durch
vollständige Induktion definiert und dabei wird jedem Element a
eine natürliche Zahl [a], die ,,Stufe“ von a,' zugeordnet.
1. Es gibt genau ein Element der Stufe eins: [a] =1; dieses
ist nicht mit sich selbst komponierbar.
i + 1. Es seien die Elemente der Stufen A i in endlicher
Anzahl definiert und die Produktbildung zwischen diesen so fest-
gelegt, daß, wenn 0 < Max ([d], [e]) = k < i ist, genau ein Element
b existiert, so daß b • e = d wird, daß weiter b in höchstens einem
Produkt als der linke von zwei Faktoren auftritt und [i] — k + 1
ist. Ist nun a, c ein geordnetes Elementepaar und Max (QzJ, [c]) — Q
so wird diesem Paare genau ein neues Element b zugeordnet und be-
stimmt: b • c = a, [b] = i + 1. Andere Elemente (i + l)-ter Stufe
und andere Produkte von zwei Elementen höchstens (i + l)-ter
Stufe gibt es nicht.
In der so definierten multiplikativen Mannigfaltigkeit gelten offen-
bar die Unitätsaxiome IQ, IQ, IQ und das Existenzaxiom des linken
Quotienten (Q, nicht aber (Q und (Q. Ferner tritt jedes Element in
höchstens einem Produkt als linker Faktor auf. Um nun zu be-
weisen, daß das Assoziativgesetz 21 erfüllt ist, genügt es zu zeigen,
E. V. Huntington zeigt, daß &b, ®c, V und Ua, (Q, V' vollständige
irreduzibele Systeme sind. Dagegen wird die Vollständigkeit von Ua, ®c,
V als offene Frage bezeichnet (S. 193). Vgl. hier Anm. 8).
5) Solche Systeme von Elementen werden von L. E. Dickson (Trans¬
actions of the American mathematical society 6 (1905) S. 205—208) als
“semi-groups” bezeichnet.
Reinhold Baer und Friedrich Levi:
In allen vier Fällen ist das Assoziativgesetz erfüllt, ferner im
ersten Fall: IQ, U&, IQ, im zweiten Fall: QQ, @6, @c, im dritten Fall:
GQ, ®c, IQ, IQ, im vierten Fall: GQ, (2Q, IQ, IQ, während die übrigen
Axiome nicht gelten.
3. A enthält zwei Axiome der ersten Zeile von (2) (Existenzaxiome).
Beweis: a) Für die Multiplikation der ganzen Zahlen gelten
die Existenzaxiome der Division nicht, wohl aber die übrigen
Axiome. Es muß deshalb mindestens ein Existenzaxiom für einen
Quotienten (GQ oder (Q) gefordert werden* * * 5 * *).
b) Es ist noch zu zeigen, daß ein Existenzaxiom für einen
Quotienten nebst den drei Unitätsaxiomen und dem Assoziativ-
gesetz noch kein vollständiges System ergibt. Das geschieht durch
folgendes Beispiel einer multiplikativen Mannigfaltigkeit, in der
21, (Q, Ua, Uö, IQ, nicht aber &a und (Q gelten:
Die Elemente von ük und ihre Komposition werden durch
vollständige Induktion definiert und dabei wird jedem Element a
eine natürliche Zahl [a], die ,,Stufe“ von a,' zugeordnet.
1. Es gibt genau ein Element der Stufe eins: [a] =1; dieses
ist nicht mit sich selbst komponierbar.
i + 1. Es seien die Elemente der Stufen A i in endlicher
Anzahl definiert und die Produktbildung zwischen diesen so fest-
gelegt, daß, wenn 0 < Max ([d], [e]) = k < i ist, genau ein Element
b existiert, so daß b • e = d wird, daß weiter b in höchstens einem
Produkt als der linke von zwei Faktoren auftritt und [i] — k + 1
ist. Ist nun a, c ein geordnetes Elementepaar und Max (QzJ, [c]) — Q
so wird diesem Paare genau ein neues Element b zugeordnet und be-
stimmt: b • c = a, [b] = i + 1. Andere Elemente (i + l)-ter Stufe
und andere Produkte von zwei Elementen höchstens (i + l)-ter
Stufe gibt es nicht.
In der so definierten multiplikativen Mannigfaltigkeit gelten offen-
bar die Unitätsaxiome IQ, IQ, IQ und das Existenzaxiom des linken
Quotienten (Q, nicht aber (Q und (Q. Ferner tritt jedes Element in
höchstens einem Produkt als linker Faktor auf. Um nun zu be-
weisen, daß das Assoziativgesetz 21 erfüllt ist, genügt es zu zeigen,
E. V. Huntington zeigt, daß &b, ®c, V und Ua, (Q, V' vollständige
irreduzibele Systeme sind. Dagegen wird die Vollständigkeit von Ua, ®c,
V als offene Frage bezeichnet (S. 193). Vgl. hier Anm. 8).
5) Solche Systeme von Elementen werden von L. E. Dickson (Trans¬
actions of the American mathematical society 6 (1905) S. 205—208) als
“semi-groups” bezeichnet.