DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0007
Vollständige irreduzibele Systeme von Gruppenaxiomen
7
daß ar ■ (a2 ■ a3) und • <z2) • a3 nicht gleichzeitig existieren können.
Gäbe es beide Produkte, so müßte, da a± linker Faktor von höchstens
einem Produkt sein kann, u2 • a3 = a2 sein. Das ist aber unmöglich;
denn wenn a2 ■ a3 existiert, muß [a2] > [<z2 ■ a3] sein. Es gilt also
das Assoziativgesetz, und damit ist 3. bewiesen6).
4. Enthält E nicht die beiden Existenzaxiome (£ö und der
Quotienten, so enthält E die beiden Unitätsaxiome U& und Uc der
Quotienten.
Beweis: Wegen der Symmetrie der Rechts- und Linksdivision
und mit Rücksicht auf die Bedingungen 1, 2, 3 genügt es, die
Unvollständigkeit des Systems 21, 6Ö, lXa, Uc zu beweisen. Das
geschieht durch folgendes Beispiel einer multiplikativen Mannigfal-
tigkeit 7), die keine Gruppe ist, aber den Gesetzen 21, (Sö, Ua, llc
genügt:
Es sei 33 eine abzählbar unendliche Menge. 23' durchlaufe die
sämtlichen echten unendlichen Teilmengen von 23, für die das
Komplement 23 — 23' unendlich ist. ß durchlaufe die ein-eindeutigen
Abbildungen 23' -> 23. Sind nun ß± : 23 ( — 23 und ß2 : 232 — 23 zwei
derartige Abbildungen, so gibt es eine bestimmte echte Teilmenge
23^2 von die durch ßx auf 232 und mithin durch ß±ß2 auf 23 abge-
bildet wird. Da 21— 23i2 unendlich ist, gehört ß±ß2 zur Klasse der
Abbildungen ß. Diese Komposition der ß ist nicht nur assoziativ
und genau eindeutig definiert (also 21, (Sa, lla gültig), sondern es
sind auch und 1XC erfüllt. Es seien nämlich
ß2 : 23'-23, ß12 : 23^-23
vorgegebene Abbildungen ß. Mit A12 bzw. A2 bezeichne man die
Originale der Elemente A von 23 bezüglich ß12 bzw. ß2. Ferner
wähle man 23^ so, daß 23j2 < 23^ c 23 und 23^ — 23(2, 25 — 23( beide
unendlich sind. Dann genügt jede ein-eindeutige Abbildung ßr:
23i 23» durch die A12 -> A2, 23' — 23i2 — 23 — 232 abgebildet wird,
der Bedingung: ßxß2 = ß12. Sind andererseits ß± und ß12 gege-
ben, so kann es ein zugehöriges ß2 nur dann geben, wenn 23(2 < 23'
ist. Bezeichnet man jetzt wieder das Original von A bezüglich
ß12 mit A12 und weiterhin das Bild von A12 bezüglich ßx mit
6) Es sei noch bemerkt, daß SR kommutativ ist, wenn man analog zu
21 das Kommutativgesetz so formuliert:
Gibt es Produkte a ■ b und b ■ a, so bestimmen sie den gleichen Wertevorrat.
In SR existiert nämlich immer nur höchstens eines der Produkte a- b
und b ■ a.
7) Wegen § 4 muß diese unendlich sein.
7
daß ar ■ (a2 ■ a3) und • <z2) • a3 nicht gleichzeitig existieren können.
Gäbe es beide Produkte, so müßte, da a± linker Faktor von höchstens
einem Produkt sein kann, u2 • a3 = a2 sein. Das ist aber unmöglich;
denn wenn a2 ■ a3 existiert, muß [a2] > [<z2 ■ a3] sein. Es gilt also
das Assoziativgesetz, und damit ist 3. bewiesen6).
4. Enthält E nicht die beiden Existenzaxiome (£ö und der
Quotienten, so enthält E die beiden Unitätsaxiome U& und Uc der
Quotienten.
Beweis: Wegen der Symmetrie der Rechts- und Linksdivision
und mit Rücksicht auf die Bedingungen 1, 2, 3 genügt es, die
Unvollständigkeit des Systems 21, 6Ö, lXa, Uc zu beweisen. Das
geschieht durch folgendes Beispiel einer multiplikativen Mannigfal-
tigkeit 7), die keine Gruppe ist, aber den Gesetzen 21, (Sö, Ua, llc
genügt:
Es sei 33 eine abzählbar unendliche Menge. 23' durchlaufe die
sämtlichen echten unendlichen Teilmengen von 23, für die das
Komplement 23 — 23' unendlich ist. ß durchlaufe die ein-eindeutigen
Abbildungen 23' -> 23. Sind nun ß± : 23 ( — 23 und ß2 : 232 — 23 zwei
derartige Abbildungen, so gibt es eine bestimmte echte Teilmenge
23^2 von die durch ßx auf 232 und mithin durch ß±ß2 auf 23 abge-
bildet wird. Da 21— 23i2 unendlich ist, gehört ß±ß2 zur Klasse der
Abbildungen ß. Diese Komposition der ß ist nicht nur assoziativ
und genau eindeutig definiert (also 21, (Sa, lla gültig), sondern es
sind auch und 1XC erfüllt. Es seien nämlich
ß2 : 23'-23, ß12 : 23^-23
vorgegebene Abbildungen ß. Mit A12 bzw. A2 bezeichne man die
Originale der Elemente A von 23 bezüglich ß12 bzw. ß2. Ferner
wähle man 23^ so, daß 23j2 < 23^ c 23 und 23^ — 23(2, 25 — 23( beide
unendlich sind. Dann genügt jede ein-eindeutige Abbildung ßr:
23i 23» durch die A12 -> A2, 23' — 23i2 — 23 — 232 abgebildet wird,
der Bedingung: ßxß2 = ß12. Sind andererseits ß± und ß12 gege-
ben, so kann es ein zugehöriges ß2 nur dann geben, wenn 23(2 < 23'
ist. Bezeichnet man jetzt wieder das Original von A bezüglich
ß12 mit A12 und weiterhin das Bild von A12 bezüglich ßx mit
6) Es sei noch bemerkt, daß SR kommutativ ist, wenn man analog zu
21 das Kommutativgesetz so formuliert:
Gibt es Produkte a ■ b und b ■ a, so bestimmen sie den gleichen Wertevorrat.
In SR existiert nämlich immer nur höchstens eines der Produkte a- b
und b ■ a.
7) Wegen § 4 muß diese unendlich sein.