Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer und Friedich Levi:

Es sei nun 1 • 7 > Wegen 1 • k > k und W ist k = 1, also:
1-1=1.
Ist ferner 1 - e>m, so ist 1 • e = 1 - 1 • e > 1 • m, und wegen (/?)
ist m = e, also :
1 • e — e, e ■ 1 > e für alle e.
Wegen ($ö gibt es zu jedem e ein e_1, so daß
e_1 ■ 1 ist.
Dann gilt • e - e-1 > 7 • e_1 = e_1.
Da aber e-1 • 7 > e-1 ist, folgt nach (y)
e ■ e-1 > 7.
Aus dieser Formel und aus (y) folgt, daß e_1 durch e eindeutig be-
stimmt ist. Wendet man diese letzte Formel auf e~x an, so erhält
man e“1 • (e-1)-1 > 7 und wegen (/?) und e-1e> 7 folgt hieraus
(e-1)-1 — e.
Es sei nun e • > p, also: e • e_1 • p-1 > p • p-1 > 7;
wegen e - e_1 = 7 ist daher nach (y) e_1
also ist nach ltc p-1 = 7, p^1 • p = 7 - p-,
da aber p~l • p > 7 = 1 -7 ist,
folgt nach (/?): p = 7, also e • e_1 = 7 für alle e,
und wenn man e durch e-1 ersetzt: e“1 • e = 7.
Ist nun 6 • c > <z, so ist c — 7 • c = b~r -b • o b~x. a. Da aber
a wegen Uc durch c > b~T ■ a eindeutig bestimmt wird, gilt das
Unitätsaxiom der Multiplikation Uo.
Die Gleichung b • x = a wird stets durch x = b~r - a erfüllt,
also gilt auch @c. Da 21, ®c, Ua erfüllt sind, ist nach 1 eine
Gruppe.
Aus Satz 1 folgt, daß A dann und nur dann vollständig ist,
wenn es eines der Systeme (3) enthält. Da diese Systeme nach
§ 2 keine echten vollständigen Teilsysteme enthalten, so sind sie
zugleich irreduzibel.
Eine multiplikative Mannigfaltigkeit, in der das Assoziativ-
gesetz 21 gilt, ist also eine Gruppe, wenn in ihr noch eine von den fol-
genden Forderungen a) — e) erfüllt ist:
a) Das Produkt ist höchstens eindeutig, die beiden Quotienten
sind mindestens eindeutig.
b) Das Produkt und ein Quotient sind mindestens eindeutig,
der andere Quotient ist genau eindeutig.