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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0011
Vollständige irreduzibele Systeme von Gruppenaxiomen
11
c) Das Produkt ist mindestens eindeutig, ein Quotient ist höchstens
eindeutig, der andere genau eindeutig.
d) Das Produkt und der rechte Quotient sind mindestens ein-
deutig, der linke Quotient ist höchstens eindeutig, und es gibt
ein Element, zu dem eine Linkseinheit gehört.
e) Das Produkt und der linke Quotient sind mindestens ein-
deutig, der rechte Quotient ist höchstens eindeutig, und es gibt
ein Element, zu dem eine Rechtseinheit gehört.
§ 4. Endliche Gruppen 9).
Um die endlichen Gruppen zu definieren, wird den sieben bisher
auf gestellten Axiomen noch hinzugefügt das
Endlichkeitsaxiom: Die Mächtigkeit von 9k ist endlich.
Dann gilt der
Satz 2: Ein Teilsystem E' der für endliche Gruppen aufgestellten
Axiome (21, (2) und das Endlichkeitsaxiom) ist dann und nur dann
vollständig, wennes den Bedingungen 1 und 2 des § 2 genügt und das
Endlichkeitsaxiom enthält.
Beweis: Daß E' das Endlichkeitsaxiom enthalten muß, folgt
aus der Existenz von unendlichen Gruppen; daß ferner die Be-
dingungen 1 und 2 erfüllt sein müssen, folgt unmittelbar aus den
dort gegebenen Gegenbeispielen, die dem Endlichkeitsaxiom ge-
nügem Es muß noch gezeigt werden, daß diese Bedingungen für
die Vollständigkeit hinreichend sind.
Es sei n die Mächtigkeit der Menge 2k und N die Anzahl
der richtigen unter den Gleichungen a = b • c. Gilt nun ein Existenz-
axiom (Sa (bzw. G, bzw. ®c), so gehört zu jedem geordneten Paar
b, c (bzw. a, c bzw. a, b) mindestens ein Produkt (bzw. linker, bzw.
rechter Quotient) a (bzw. b bzw. c). Es ist also N n2, und das
Gleichheitszeichen gilt dann und nur dann, wenn die Zuordnung
genau eindeutig ist, d. h. wenn zugleich Ua (bzw. 115, bzw. 1XC) gilt.
Eine genau entsprechende Überlegung ergibt, daß, wenn ein Unitäts-
axiom erfüllt ist, N n2 sein muß und das Gleichheitszeichen nur
dann gilt, wenn zugleich das mit demselben Index versehene Exis-
tenzaxiom erfüllt ist. Hieraus folgt, daß, wenn in jeder Zeile und
jeder Spalte von (2) ein Axiom von E' auftritt, N — n2 ist und alle
Axiome (2) gelten.
9) Vgl. hierzu: Anton Suschkewitsch; Über die endlichen Gruppen ohne
das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit; Math. Ann. Bd. 99 (1928), S. 30—50.
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c) Das Produkt ist mindestens eindeutig, ein Quotient ist höchstens
eindeutig, der andere genau eindeutig.
d) Das Produkt und der rechte Quotient sind mindestens ein-
deutig, der linke Quotient ist höchstens eindeutig, und es gibt
ein Element, zu dem eine Linkseinheit gehört.
e) Das Produkt und der linke Quotient sind mindestens ein-
deutig, der rechte Quotient ist höchstens eindeutig, und es gibt
ein Element, zu dem eine Rechtseinheit gehört.
§ 4. Endliche Gruppen 9).
Um die endlichen Gruppen zu definieren, wird den sieben bisher
auf gestellten Axiomen noch hinzugefügt das
Endlichkeitsaxiom: Die Mächtigkeit von 9k ist endlich.
Dann gilt der
Satz 2: Ein Teilsystem E' der für endliche Gruppen aufgestellten
Axiome (21, (2) und das Endlichkeitsaxiom) ist dann und nur dann
vollständig, wennes den Bedingungen 1 und 2 des § 2 genügt und das
Endlichkeitsaxiom enthält.
Beweis: Daß E' das Endlichkeitsaxiom enthalten muß, folgt
aus der Existenz von unendlichen Gruppen; daß ferner die Be-
dingungen 1 und 2 erfüllt sein müssen, folgt unmittelbar aus den
dort gegebenen Gegenbeispielen, die dem Endlichkeitsaxiom ge-
nügem Es muß noch gezeigt werden, daß diese Bedingungen für
die Vollständigkeit hinreichend sind.
Es sei n die Mächtigkeit der Menge 2k und N die Anzahl
der richtigen unter den Gleichungen a = b • c. Gilt nun ein Existenz-
axiom (Sa (bzw. G, bzw. ®c), so gehört zu jedem geordneten Paar
b, c (bzw. a, c bzw. a, b) mindestens ein Produkt (bzw. linker, bzw.
rechter Quotient) a (bzw. b bzw. c). Es ist also N n2, und das
Gleichheitszeichen gilt dann und nur dann, wenn die Zuordnung
genau eindeutig ist, d. h. wenn zugleich Ua (bzw. 115, bzw. 1XC) gilt.
Eine genau entsprechende Überlegung ergibt, daß, wenn ein Unitäts-
axiom erfüllt ist, N n2 sein muß und das Gleichheitszeichen nur
dann gilt, wenn zugleich das mit demselben Index versehene Exis-
tenzaxiom erfüllt ist. Hieraus folgt, daß, wenn in jeder Zeile und
jeder Spalte von (2) ein Axiom von E' auftritt, N — n2 ist und alle
Axiome (2) gelten.
9) Vgl. hierzu: Anton Suschkewitsch; Über die endlichen Gruppen ohne
das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit; Math. Ann. Bd. 99 (1928), S. 30—50.