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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0017
Matrizen, Moduln und verallgemeinerte Abelsche Gruppen usw.
17
zu ersetzen. Das Produkt ist dann
Zwecke nur für irgendein r max (rn, n) die Matrizen Pn und
Qm durch
(unabhängig von r) im Sinne der «-Gleichheit eindeutig bestimmt.
IP» °l
und
Qm o
II0 EA
0 Er-m
Besonders einfach sind die folgenden drei Typen von «-Matrizen,
die kurz als ,,e-Matrizen“ bezeichnet werden sollen:
a) Die Matrizen j| ei ■ öik\\, die aus der Einheitsmatrix durch
Multiplikation der Diagonalglieder mit Einheiten aus 9t bzw. 33
entstehen.
ß) Die ,,Permutationsmatrizen“, die in jeder Zeile und Spalte
genau eine 1, sonst lauter Nullen enthalten.
y) Die Matrizen, die aus der Einheitsmatrix dadurch entstehen,
daß in genau einer Zeile (Spalte) außerhalb der Hauptdiagonale
anstelle der Nullen beliebige Elemente aus 9t bzw. 93 eingesetzt
werden.
Alle «-Matrizen, mit denen wir später arbeiten werden, sind
Produkte von e-Matrizen der Typen <x), ß), y). Wir brauchen daher
keine weiteren Sätze über die Konstruktionsmöglichkeit von «-
Matrizen.
Zwei allgemeine (nicht notwendig unimodulare oder quadra-
tische) Matrizen A und B sollen ,,«-gleich“ heißen, wenn B aus A
durch Anfügen oder Weglassen von Nullzeilen und Nullspalten
entsteht. Bei Matrizengleichungen ohne weiteren Zusatz handelt
es sich im Folgenden stets um die eben definierte «-Gleichheit;
nur bei Matrizen, die ausdrücklich als unimodular bezeichnet sind,
tritt die «-Gleichheit anstelle der a-Gleichheit. Diese Festsetzung
macht es uns vor allem möglich das Produkt P • A (A • P) einer
beliebigen Matrix A mit einer «-Matrix P ohne Rücksicht auf die
Zeilen- und Spaltenzahl von A und P in «-eindeutiger Weise zu
definieren, genau so wie wir oben das Produkt zweier allgemeiner
«-Matrizen in «-eindeutiger Weise festgelegt hatten.
Es sei jetzt insbesondere A — || aik || (i = i l, k = 1 •• • m)
eine beliebige Matrix und es sei die Zeile ||«z+i,JI (k = 1 ■ • • m)
(die Spalte ||ai„+11| (i = 1, . . ./)) eine Linearkombination der
Zeilen (Spalten) von A:
= 1, - • • m) («im+1 = Sak <Bk (i = 1, • • ■ Z)),.
schließlich bedeute AX(A(1)) die Matrix \\aik\\ (Z = l • •-Z+l, Zc = l • •-m)
(IK-Il (i = 1 • • • Z, k = 1 • • • m A~ 1)). Bezeichnen wir dann mit
P (<2) diejenige e-Matrix l + 1-ten (m + 1-ten) Grades, die aus.
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zu ersetzen. Das Produkt ist dann
Zwecke nur für irgendein r max (rn, n) die Matrizen Pn und
Qm durch
(unabhängig von r) im Sinne der «-Gleichheit eindeutig bestimmt.
IP» °l
und
Qm o
II0 EA
0 Er-m
Besonders einfach sind die folgenden drei Typen von «-Matrizen,
die kurz als ,,e-Matrizen“ bezeichnet werden sollen:
a) Die Matrizen j| ei ■ öik\\, die aus der Einheitsmatrix durch
Multiplikation der Diagonalglieder mit Einheiten aus 9t bzw. 33
entstehen.
ß) Die ,,Permutationsmatrizen“, die in jeder Zeile und Spalte
genau eine 1, sonst lauter Nullen enthalten.
y) Die Matrizen, die aus der Einheitsmatrix dadurch entstehen,
daß in genau einer Zeile (Spalte) außerhalb der Hauptdiagonale
anstelle der Nullen beliebige Elemente aus 9t bzw. 93 eingesetzt
werden.
Alle «-Matrizen, mit denen wir später arbeiten werden, sind
Produkte von e-Matrizen der Typen <x), ß), y). Wir brauchen daher
keine weiteren Sätze über die Konstruktionsmöglichkeit von «-
Matrizen.
Zwei allgemeine (nicht notwendig unimodulare oder quadra-
tische) Matrizen A und B sollen ,,«-gleich“ heißen, wenn B aus A
durch Anfügen oder Weglassen von Nullzeilen und Nullspalten
entsteht. Bei Matrizengleichungen ohne weiteren Zusatz handelt
es sich im Folgenden stets um die eben definierte «-Gleichheit;
nur bei Matrizen, die ausdrücklich als unimodular bezeichnet sind,
tritt die «-Gleichheit anstelle der a-Gleichheit. Diese Festsetzung
macht es uns vor allem möglich das Produkt P • A (A • P) einer
beliebigen Matrix A mit einer «-Matrix P ohne Rücksicht auf die
Zeilen- und Spaltenzahl von A und P in «-eindeutiger Weise zu
definieren, genau so wie wir oben das Produkt zweier allgemeiner
«-Matrizen in «-eindeutiger Weise festgelegt hatten.
Es sei jetzt insbesondere A — || aik || (i = i l, k = 1 •• • m)
eine beliebige Matrix und es sei die Zeile ||«z+i,JI (k = 1 ■ • • m)
(die Spalte ||ai„+11| (i = 1, . . ./)) eine Linearkombination der
Zeilen (Spalten) von A:
= 1, - • • m) («im+1 = Sak <Bk (i = 1, • • ■ Z)),.
schließlich bedeute AX(A(1)) die Matrix \\aik\\ (Z = l • •-Z+l, Zc = l • •-m)
(IK-Il (i = 1 • • • Z, k = 1 • • • m A~ 1)). Bezeichnen wir dann mit
P (<2) diejenige e-Matrix l + 1-ten (m + 1-ten) Grades, die aus.