Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Matrizen, Moduln und verallgemeinerte Abelsche Gruppen usw.

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A in einrangige Matrizen zu zerlegen. Die Theorie der einrangigen
Matrizen muß in § 5 gesondert erledigt werden.
§ 5. Einrangige Matrizen.
Man könnte vermuten, daß sich die Sätze 5 und 6 von § 4 auch
auf den Fall einrangiger Matrizen ausdehnen lassen. Die folgenden
Betrachtungen zeigen indessen, daß dem nicht so ist, und daß über-
haupt die wesentlichen Unterschiede zwischen Mr und gerade
bei den einrangigen Matrizen hervortreten. — Es sei A = ||aa||
(i = 1, . . . m; 7c = 1, ... n) einrangig mit dem (ersten und einzigen)
E. T. e, = (ail? ai2, • • •) bzw- azk, • • •) seien die Zeilen-
bzw. Spaltenideale von A. Dann gehören wegen der Einrangigkeit
von A die Ideale bzw. \k alle einer festen Klasse Kz bzw. an,
die als „Zeilen“- bzw. „Spaltenklasse“ von A bezeichnet wird.
Satz 7. Das Produkt von K, und Kfc ist gleich der Klasse von e.
Der Beweis von Satz 7 ergibt sich durch eine leichte Bechnung12).
Wir wollen ihn übergehen, weil wir Satz 7 nur brauchen, um die
Tatsache plausibel zu machen, daß wir im Folgenden die Spalten-
klasse ganz beiseite lassen, und ausschließlich mit der Zeilenklasse
K, arbeiten, die wir kurz „die Klasse“ von A nennen. Die Bevor-
zugung der Zeilenklasse vor der Spaltenklasse bedingt allerdings
bei den weiteren Untersuchungen eine gewisse Unsymmetrie. Das
ist aber kein wesentlicher Nachteil, weil eine solche Unsymmetrie
bei vielen Anwendungen der Matrizenrechnung, insbesondere bei
der Modultheorie durchaus naturgemäß ist.
Satz 8. Die Klasse Kz ändert sich nicht bei vorderer und hinterer
Multiplikation von A mit u-Matrizen.
a) Multiplizieren wir A vorne mit einer ganz beliebigen Matrix P
und ist P • A von der Nullmatrix verschieden, so sind die Zeilen
von P • A zu den Zeilen von A proportional, P • A und A haben
also die gleiche Klasse, b) Multiplizieren wir A hinten mit Q, so
sind die Zeilenideale von A • Q sicher Vielfache der Zeilenideale von A.
Ist daher die Multiplikation von A mit Q umkehrbar, d. h. existiert
ein 7?, das der Gleichung (A ■ Q) ■ R = A genügt, so müssen A und
A • Q die gleichen Zeilenideale und damit auch die gleiche Klasse
haben. — Aus a) und b) folgt Satz 8. Die allgemeine Fassung des
Beweises, wird sich in § 6 nützlich erweisen.
Es sei jetzt e ein vorgegebenes Ideal, K eine vorgegebene Klasse,

12) Vgl. St. I, Nr. 12 S. 332.