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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0024
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Wolfgang Krull:
y ■
übergeführt werden. •— Beweis: Man kann jede Zeile der Matrix B
(A) an die Matrix A (B) anhängen ohne den Rang 1 und den höchsten
D ■ T ■, d. h. in diesem Falle den E • T • e, zu ändern. Nach Satz 3
von § 3 ist daher jede Zeile von B (A) eine Linearkombination der
Zeilen von A (B) mit Koeffizienten aus 55. Daraus folgt, daß man
durch vordere Multiplikation von A mit e-Matrizen zuerst die Zeilen
von B an A anhängen und dann die ursprünglichen Zeilen von A zu
Nullzeilen machen kann. — Behauptung b): B geht durch hintere
Multiplikation mit einem Produkt von e-Matrizen in A* über.
Beweis: Hängt man eine Spalte von A* (5) an die Matrix B (A*)
an, so ändert sich weder der Rang 1 noch der höchste D • T • e. Man
kann daher genau so schließen wie bei Behauptung a).
Durch a) und b) ist Satz 9 bewiesen. Ist die Klasse von A die
Hauptklasse Ko, so können und wollen wir in der Normalform A*
stets «2 = 0, (a15 y • = e annehmen, so daß A* in diesem Falle
einspaltig wird: A* =
ai = (%, ^2) und ä* = y ’ 3* = (y • «i, y ■ a?f) seien zwei Ideale aus
K, die gerade den gr. g. T. e besitzen. Dann ist A* = ttl a'2
y -a^y -a2
eine einrangige Matrix mit dem E. T. e und der Klasse K, und wir
behaupten:
Satz 9. Jede einrangige Matrix A mit dem E. T. e und der Klasse K
kann unimodular auf die Normalform A* transformiert werden, zwei
einrangige Matrizen sind also dann und nur dann äquivalent, wenn
sie gleichen E. T. und gleiche Klasse besitzen.
Ist in A etwa das erste Zeilenideal = (au, tz12, . . .) von (0)
verschieden, so gehören g*, alle zur gleichen Klasse, es gelten
also zwei Gleichungen
3i — (f ’ ^12? • • •), 32 fy • ö ■ y • <5 • • • •)•
Behauptung a): A kann durch vordere Multiplikation mit einem
Produkt von e-Matrizen in die Matrix B -
ö
an
ö
• u12 • • •
y ■ ö
an y
ö
«12 . . .1
§ 6. Matrizen beliebigen Ranges.
Von jetzt ab bedeutet A = || aik|| (i — 1, . . . nz; k — 1, . . . n)
eine Matrix vom Range r 2 mit den D. T. tp und den E. I. e{.
Bilden wir aus den Unterdeterminanten r-ten Grades von A nach
dem bei der Bildung von Determinanten aus Unterdeterminanten
üblichen Schema eine neue Matrix A(r), so ist A(r) eine einrangige
Wolfgang Krull:
y ■
übergeführt werden. •— Beweis: Man kann jede Zeile der Matrix B
(A) an die Matrix A (B) anhängen ohne den Rang 1 und den höchsten
D ■ T ■, d. h. in diesem Falle den E • T • e, zu ändern. Nach Satz 3
von § 3 ist daher jede Zeile von B (A) eine Linearkombination der
Zeilen von A (B) mit Koeffizienten aus 55. Daraus folgt, daß man
durch vordere Multiplikation von A mit e-Matrizen zuerst die Zeilen
von B an A anhängen und dann die ursprünglichen Zeilen von A zu
Nullzeilen machen kann. — Behauptung b): B geht durch hintere
Multiplikation mit einem Produkt von e-Matrizen in A* über.
Beweis: Hängt man eine Spalte von A* (5) an die Matrix B (A*)
an, so ändert sich weder der Rang 1 noch der höchste D • T • e. Man
kann daher genau so schließen wie bei Behauptung a).
Durch a) und b) ist Satz 9 bewiesen. Ist die Klasse von A die
Hauptklasse Ko, so können und wollen wir in der Normalform A*
stets «2 = 0, (a15 y • = e annehmen, so daß A* in diesem Falle
einspaltig wird: A* =
ai = (%, ^2) und ä* = y ’ 3* = (y • «i, y ■ a?f) seien zwei Ideale aus
K, die gerade den gr. g. T. e besitzen. Dann ist A* = ttl a'2
y -a^y -a2
eine einrangige Matrix mit dem E. T. e und der Klasse K, und wir
behaupten:
Satz 9. Jede einrangige Matrix A mit dem E. T. e und der Klasse K
kann unimodular auf die Normalform A* transformiert werden, zwei
einrangige Matrizen sind also dann und nur dann äquivalent, wenn
sie gleichen E. T. und gleiche Klasse besitzen.
Ist in A etwa das erste Zeilenideal = (au, tz12, . . .) von (0)
verschieden, so gehören g*, alle zur gleichen Klasse, es gelten
also zwei Gleichungen
3i — (f ’ ^12? • • •), 32 fy • ö ■ y • <5 • • • •)•
Behauptung a): A kann durch vordere Multiplikation mit einem
Produkt von e-Matrizen in die Matrix B -
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§ 6. Matrizen beliebigen Ranges.
Von jetzt ab bedeutet A = || aik|| (i — 1, . . . nz; k — 1, . . . n)
eine Matrix vom Range r 2 mit den D. T. tp und den E. I. e{.
Bilden wir aus den Unterdeterminanten r-ten Grades von A nach
dem bei der Bildung von Determinanten aus Unterdeterminanten
üblichen Schema eine neue Matrix A(r), so ist A(r) eine einrangige