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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0025
Matrizen, Moduln und verallgemeinerte Abels ehe Gruppen usw.
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Matrix mit dem E. T. br. Die Klasse Kz von A(r) soll auch als Klasse
von A selbst angesehen werden.
Satz 10. Äquivalente. Matrizen besitzen stets gleiche Klassen.
Ist PAQ = B, RBS = A, so gelten nach elementaren Deter-
minantensätzen zwei weitere Gleichungen
J>(r) ^(r) Q(r) _ R(r) _g(U £(r) _ _q(r).
Daraus folgt nach dem Beweis von Satz 8 in § 5, daß im Falle
der Äquivalenz von A und B die Matrizen A(r) und und damit
auch A und B die gleiche Klasse besitzen müssen13). Es sei noch
die folgende, sofort nachrechenbare Tatsache hervorgehoben:
Zerfällt A =
0
0 dL2
in die Matrizen Ar und Ä2, wird die
Klasse von A gleich dem Produkt der Klassen von A1 und Ä214).
Hinsichtlich der E. T. von A ist zu bemerken, daß ei+1 stets durch
teilbar sein muß. Denn die Teilbarkeitsverhältnisse der E. T.
von A sind im Koeffizientenring SS genau die gleichen wie im Koeffi-
zjientenring 91 = 9%,. und für den Fall des Koeffizientenrings %Sbr
gilt der Satz 1 von § 3. — Es seien jetzt e17 e2, • • • er vorge-
gebene Ideale, von denen jedes folgende durch das vorangehende
teilbar ist, K sei eine feste Idealklasse. Bezeichnen wir dann mit
mit
die
ein-
eine r-rangige Matrix mit den E. T. e1;
e2, . . . er und der Klasse K.
(i — 1, ... r — 1) die einrangige Normalform
M* =
i 7i'ai
dem E. T. e- und der Klasse Ko mit A* =
rangige Normalform mit dem E. T. er und der Klasse K, so wird
H*
q *
4* _ •Z12
Satz 11. Jede Matrix A vom Range r mit den E. T. e1? e2, • • •
und der Klasse K ist der eben konstruierten Normalform A* äqui-
valent 15). Zwei beliebige Matrizen sind also dann und nur dann äqui-
valent, wenn sie gleiche E. T. und gleiche Klasse besitzen.
13) Der Beweis von St. I, Nr. 13 und 14 S. 332 f. weicht dadurch etwas
vom Beweis des Textes ab, daß er mit der nach Satz 7 zwischen der Zeilen-
und Kolonnenklasse von Al<ü bestehenden Beziehung arbeitet.
14) Als Klasse der Nullmatrix ist hier Ko anzusehen!
15) Es sei an dieser Stelle hervorgehoben, daß auch Steinitz bei seinem
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Matrix mit dem E. T. br. Die Klasse Kz von A(r) soll auch als Klasse
von A selbst angesehen werden.
Satz 10. Äquivalente. Matrizen besitzen stets gleiche Klassen.
Ist PAQ = B, RBS = A, so gelten nach elementaren Deter-
minantensätzen zwei weitere Gleichungen
J>(r) ^(r) Q(r) _ R(r) _g(U £(r) _ _q(r).
Daraus folgt nach dem Beweis von Satz 8 in § 5, daß im Falle
der Äquivalenz von A und B die Matrizen A(r) und und damit
auch A und B die gleiche Klasse besitzen müssen13). Es sei noch
die folgende, sofort nachrechenbare Tatsache hervorgehoben:
Zerfällt A =
0
0 dL2
in die Matrizen Ar und Ä2, wird die
Klasse von A gleich dem Produkt der Klassen von A1 und Ä214).
Hinsichtlich der E. T. von A ist zu bemerken, daß ei+1 stets durch
teilbar sein muß. Denn die Teilbarkeitsverhältnisse der E. T.
von A sind im Koeffizientenring SS genau die gleichen wie im Koeffi-
zjientenring 91 = 9%,. und für den Fall des Koeffizientenrings %Sbr
gilt der Satz 1 von § 3. — Es seien jetzt e17 e2, • • • er vorge-
gebene Ideale, von denen jedes folgende durch das vorangehende
teilbar ist, K sei eine feste Idealklasse. Bezeichnen wir dann mit
mit
die
ein-
eine r-rangige Matrix mit den E. T. e1;
e2, . . . er und der Klasse K.
(i — 1, ... r — 1) die einrangige Normalform
M* =
i 7i'ai
dem E. T. e- und der Klasse Ko mit A* =
rangige Normalform mit dem E. T. er und der Klasse K, so wird
H*
q *
4* _ •Z12
Satz 11. Jede Matrix A vom Range r mit den E. T. e1? e2, • • •
und der Klasse K ist der eben konstruierten Normalform A* äqui-
valent 15). Zwei beliebige Matrizen sind also dann und nur dann äqui-
valent, wenn sie gleiche E. T. und gleiche Klasse besitzen.
13) Der Beweis von St. I, Nr. 13 und 14 S. 332 f. weicht dadurch etwas
vom Beweis des Textes ab, daß er mit der nach Satz 7 zwischen der Zeilen-
und Kolonnenklasse von Al<ü bestehenden Beziehung arbeitet.
14) Als Klasse der Nullmatrix ist hier Ko anzusehen!
15) Es sei an dieser Stelle hervorgehoben, daß auch Steinitz bei seinem