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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0026
26
Wolfgang Krull:
1? • •
hat den E. T. ei und
einer Matrix
Produkt von e-Matrizen kann man daher
überführen, und damit ist alles bewiesen.
7i • «i
anhängen, bei dem (%, a2,... an) =
die Klasse Ko,
In Anbetracht von Satz 9 brauchen wir nur zu zeigen, daß A
unimodular in eine Matrix
äquivalent.
der bereits bewiesenen
Ci A, .
A* 0 ’
e1ax ...
c2 ■ ■ ■ |
ist also nach § 5 zu A*
Daraus ergibt sich unter Berücksichtigung
Behauptung a) die Äquivalenz von A mit
dabei bedeutete eine Spalte, deren Elemente alle durch ex = (cq, y1 • a)
teilbar sein müssen. Durch vordere Multiplikation mit einem
A* 0 i
o All
transformierbar ist. ■—■ a): Es
seien und e2 so bestimmt, daß e2) — e1? ((ej, br) = ex wird.
Dann kann man A durch vordere Multiplikation mit e-Matrizen ein
Zeilenpaar
(1) ist. In der Tat, daß aus den Zeilen von A durch Linear-
kombination in iß eine Zeile cq, a2, . . . e± «J| mit (aq, a2, . . . an)
= (1) gewonnen werden kann, folgt aus Satz 6 von § 4. Die Hinzu-
nahme von ||ex «i, • . .|| zu A ändert dann nichts an dem Rang und
dem höchsten D. T. bz, und gleiches gilt für |[e2 aq, e2 a2, . . . e2 an\,
weil e2 in durch ex teilbar ist. Es ist also nach Satz 3 von § 3
auch 11 e2 an • • • 11 linear durch die Zeilen von A darstellbar.
|
b) Die einrangige Matrix
^2’ ■
• ■
e2 ar,
e2 ß2, .
• • e2an
|| C
Ax
II A1
0
in
§ 7. Normierte Transformation.
Satz 12 16). Sind A und B zwei äquivalente Matrizen aus
Von der gleichen Spaltenzahl n, so kann man stets ein ausgezeichnetes
u-Matrizenpaar P, Q finden, das der Gleichung P A Q = B genügt,
und bei dem Q genau den Grad n besitzt.
Äquivalenzbeweis eine Normalform von verhältnismäßig einfacher Art benutzt.
Aber diese Normalform ist doch nicht so durchsichtig gebaut wie die des Textes
und zwar deshalb, weil sie der Minimalforderung genügen muß, höchstens
r + 1 Zeilen zu besitzen, falls r ihr Rang ist.
1G) Vgl. St. II, No. 66 Satz I S. 340. — Hätten wir die Hilfssätze 1 und 2
von § 7 bereits in § 5 gebracht, so hätten wir Satz 12 gleich zusammen mit
Satz 11 beweisen können. Aber die Durchsichtigkeit des Gedankengangs hätte
wohl unter einer solchen Anordnung gelitten.
Wolfgang Krull:
1? • •
hat den E. T. ei und
einer Matrix
Produkt von e-Matrizen kann man daher
überführen, und damit ist alles bewiesen.
7i • «i
anhängen, bei dem (%, a2,... an) =
die Klasse Ko,
In Anbetracht von Satz 9 brauchen wir nur zu zeigen, daß A
unimodular in eine Matrix
äquivalent.
der bereits bewiesenen
Ci A, .
A* 0 ’
e1ax ...
c2 ■ ■ ■ |
ist also nach § 5 zu A*
Daraus ergibt sich unter Berücksichtigung
Behauptung a) die Äquivalenz von A mit
dabei bedeutete eine Spalte, deren Elemente alle durch ex = (cq, y1 • a)
teilbar sein müssen. Durch vordere Multiplikation mit einem
A* 0 i
o All
transformierbar ist. ■—■ a): Es
seien und e2 so bestimmt, daß e2) — e1? ((ej, br) = ex wird.
Dann kann man A durch vordere Multiplikation mit e-Matrizen ein
Zeilenpaar
(1) ist. In der Tat, daß aus den Zeilen von A durch Linear-
kombination in iß eine Zeile cq, a2, . . . e± «J| mit (aq, a2, . . . an)
= (1) gewonnen werden kann, folgt aus Satz 6 von § 4. Die Hinzu-
nahme von ||ex «i, • . .|| zu A ändert dann nichts an dem Rang und
dem höchsten D. T. bz, und gleiches gilt für |[e2 aq, e2 a2, . . . e2 an\,
weil e2 in durch ex teilbar ist. Es ist also nach Satz 3 von § 3
auch 11 e2 an • • • 11 linear durch die Zeilen von A darstellbar.
|
b) Die einrangige Matrix
^2’ ■
• ■
e2 ar,
e2 ß2, .
• • e2an
|| C
Ax
II A1
0
in
§ 7. Normierte Transformation.
Satz 12 16). Sind A und B zwei äquivalente Matrizen aus
Von der gleichen Spaltenzahl n, so kann man stets ein ausgezeichnetes
u-Matrizenpaar P, Q finden, das der Gleichung P A Q = B genügt,
und bei dem Q genau den Grad n besitzt.
Äquivalenzbeweis eine Normalform von verhältnismäßig einfacher Art benutzt.
Aber diese Normalform ist doch nicht so durchsichtig gebaut wie die des Textes
und zwar deshalb, weil sie der Minimalforderung genügen muß, höchstens
r + 1 Zeilen zu besitzen, falls r ihr Rang ist.
1G) Vgl. St. II, No. 66 Satz I S. 340. — Hätten wir die Hilfssätze 1 und 2
von § 7 bereits in § 5 gebracht, so hätten wir Satz 12 gleich zusammen mit
Satz 11 beweisen können. Aber die Durchsichtigkeit des Gedankengangs hätte
wohl unter einer solchen Anordnung gelitten.