Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Matrizen, Moduln imd verallgemeinerte Abelsche Gruppen usw.

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§ 8. Linearformenmoduln.
Da wir es hier mit wohlbekannten Begriffsbildungen zu tun
haben, können wir uns darauf beschränken, kurz an die einschlägigen
Definitionen zu erinnern und dann gleich die Hauptsätze zu for-
mulieren. Unter einer „Form“ schlechtweg verstehen wir eine
n
Linearform Z(rc) = JZ in n festen Variabein xk mit Koeffizienten
aus SS. yn bedeutet stets eine Variabeinreihe, die mit der
Reihe x±, . . . xn durch eine «-Transformation (?/) = P • (#) zu-
n
sammenhängt, d. h. durch eine Transformation yi=^^pikxk
(i = 1, . . . «), bei der die Koeffizientenmatrix |] kuJi =eine
«-Matrix aus M„ ist. Jede Form in den xk läßt sich auch als Form in
den yk auffassen und umgekehrt.
Ein Formensystem 3k heißt Modul, wenn es gleichzeitig mit
l (x) und m (rc) auch a • l (x) + b ■ m (re) für beliebiges a und b aus
33 enthält. Jeder Modul 3k besitzt eine endliche Basis, d. h. es
lassen sich in 3k endlich viel Formen Zx, . . . ls so bestimmen, daß
3k — (Zx, . . . Zs) aus der Gesamtheit aller Formen von der Gestalt
ai ’ Zi + ■■■-,- as • ls besteht. Die Matrix A — || aik\\ (Z = 1, . . . m;
Zc = 1, . . . n) soll „^-zugehörig zu 3k“ genannt werden, wenn die
n
Formen Zz(y) —£aikyk eine Basis von 3k bilden. Aus dieser
Definition folgt ohne Schwierigkeit: B ist dann und nur dann
gleichzeitig mit A ^-zugehörig zu 3k, wenn zwei Gleichungen
K-B=A, S-A=B gelten; ist A ^-zugehörig zu 3k und hängen
die Variabein yk mit den Variabein xk durch die «-Transformation
(?/) = P • (x) zusammen, so ist A • P rc-zugehörig zu 3k.
Satz 13. Alle irgend wie zu 3k gehörigen Matrizen besitzen die
gleichen E. T. und die gleiche Klasse, man kann daher kurz von den
E. T. und der Klasse von 3k reden. — Hat 3k die E. T. ex, e2, • • • er
und die Klasse K, so besitzt 3k in einer geeignet gewählten Variabein-
reihe yx, . . . yn eine ,,Normalbasis“ von der folgenden Gestalt:
~ (al bli 71 ’ al yi '■> • • • ar—l dr—li 7r—l ' ar—l yr—l 'i
ar yr + ar+1 yr+1, yT -aryr + yr- ar+i Pr+iY,
7i • «i) (i = 1, . . . r — 1); er = (ar, ar+1, yr ■ ar, yr ■ ar+1)\
K = Klasse von (ar, ar+1)).
Die Richtigkeit von Satz 13 folgt aus den Untersuchungen von
§ 5—§ 7, insbesondere aus den Sätzen 9, 11, 12. — Um die Bedeutung
der Normalbasis noch schärfer hervortreten zu lassen, führen wir die
folgenden Bezeichnungen ein: