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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0030
30
Wolfgang Krull:
3)2 heißt Summe von 3J2X, 3)22, . . . 3)2S — im Symbol 3)1 ■ 332x
+ 3J12 + • • • 3J2Ä —, wenn 3)2 aus allen Formen Z = Zx + Z2 + • • • + Zs
(Zi aus 3)2 (Z = 1, . . . 5)) besteht. Kann man yx,. . . yn so wählen,
daß für ix =|= Z2 niemals ein aus 3J2ix und ein Z,- aus 332io dieselbe
Variable yk wirklich enthalten, so sollen die Summanden 3)2,- „völlig
unabhängig“ heißen. — An der Normalbasis erkennt man nun:
Satz 14. Der Modul 3)2 mit den E. T. ex, e2, . . . er und der
Klasse K läßt sich als Summe von r völlig unabhängigen einrangigen
Moduln 3)2X, . . .3)2,. darstellend, und zwar so daß US- gerade den
E. T. ez und für i < r die Hauptklässe Ko, für i — r die Klasse
K besitzt.
§ 9. Die Grundmoduln *9).
Ein Modul heißt Grundmodul, wenn er gleichzeitig mit a ■ l
(a =|= 0) stets auch Z selbst enthält. Unter dem Grundmodul 3)2 eines
beliebigen Moduls 3)2 versteht man den kleinsten 18 19 20) 3)2 enthalten-
den Grundmodul. 332 besteht aus der Gesamtheit aller der Formen,
deren Produkt mit einem geeigneten von 0 verschiedenen Element
aus $ zu 3)2 gehört. — 3)2 und 3)2 haben stets denselben Rang. Sind
3)2X, . . . 3)2S völlig unabhängig, so ist der Grundmodul von 9)2X + . . .
+ 3)2S gleich 3J2X + ... + 332s.
Es sei ferner 3)2 vom Range 1; besitzt dann 3)2 die Klasse Ko und
dementsprechend die Normalbasis (a yx, y ■ a yß, so ist selbstver-
ständlich 3)2 = (yx). Besitzt aber 3)2 eine beliebige Klasse K und
die Normalbasis (ax yx + «2 ?/2, y • «x 2/x + y • a2 Z/2), un(^ bestimmen
wir ö so, daß (a±, az, ö • ax, 6 • aß = (1) ist, so wird 3)2 -
(aiZ/i + a2Z/2? d • axyx y- d ■ a2yß. — Der Beweis dafür ergibt sich aus
Satz 3, da jede Form aus 3)2 zu ax yx + a2 y2 proportional ist und
(«1 g/i + a2y2, ö ■a1y1 + ö ■ a2yß den E. T. (1) hat. Gleichfalls
aus Satz 3 folgt umgekehrt: Hat 3)2 den Rang 1 und den E. T. e,
so besteht 3)2 gerade aus allen den Formen von 3)2, die lauter durch e
teilbare Koeffizienten besitzen.
18) Eine Summendarstellung durch völlig unabhängige Summanden ist
im Sinne der verallgemeinerten Abelschen Gruppen eine spezielle direkte
Summendarstellung.
19) Die Sätze von § 9 finden sich alle in St. II, vgl. insbesondere: § 6,
No. 36 — 38, 40, sowie § 8 Nr. 64.
20) Die Worte „größer“ und „kleiner“ sind stets im mengentheoretischen
Sinne zu verstehen.
Wolfgang Krull:
3)2 heißt Summe von 3J2X, 3)22, . . . 3)2S — im Symbol 3)1 ■ 332x
+ 3J12 + • • • 3J2Ä —, wenn 3)2 aus allen Formen Z = Zx + Z2 + • • • + Zs
(Zi aus 3)2 (Z = 1, . . . 5)) besteht. Kann man yx,. . . yn so wählen,
daß für ix =|= Z2 niemals ein aus 3J2ix und ein Z,- aus 332io dieselbe
Variable yk wirklich enthalten, so sollen die Summanden 3)2,- „völlig
unabhängig“ heißen. — An der Normalbasis erkennt man nun:
Satz 14. Der Modul 3)2 mit den E. T. ex, e2, . . . er und der
Klasse K läßt sich als Summe von r völlig unabhängigen einrangigen
Moduln 3)2X, . . .3)2,. darstellend, und zwar so daß US- gerade den
E. T. ez und für i < r die Hauptklässe Ko, für i — r die Klasse
K besitzt.
§ 9. Die Grundmoduln *9).
Ein Modul heißt Grundmodul, wenn er gleichzeitig mit a ■ l
(a =|= 0) stets auch Z selbst enthält. Unter dem Grundmodul 3)2 eines
beliebigen Moduls 3)2 versteht man den kleinsten 18 19 20) 3)2 enthalten-
den Grundmodul. 332 besteht aus der Gesamtheit aller der Formen,
deren Produkt mit einem geeigneten von 0 verschiedenen Element
aus $ zu 3)2 gehört. — 3)2 und 3)2 haben stets denselben Rang. Sind
3)2X, . . . 3)2S völlig unabhängig, so ist der Grundmodul von 9)2X + . . .
+ 3)2S gleich 3J2X + ... + 332s.
Es sei ferner 3)2 vom Range 1; besitzt dann 3)2 die Klasse Ko und
dementsprechend die Normalbasis (a yx, y ■ a yß, so ist selbstver-
ständlich 3)2 = (yx). Besitzt aber 3)2 eine beliebige Klasse K und
die Normalbasis (ax yx + «2 ?/2, y • «x 2/x + y • a2 Z/2), un(^ bestimmen
wir ö so, daß (a±, az, ö • ax, 6 • aß = (1) ist, so wird 3)2 -
(aiZ/i + a2Z/2? d • axyx y- d ■ a2yß. — Der Beweis dafür ergibt sich aus
Satz 3, da jede Form aus 3)2 zu ax yx + a2 y2 proportional ist und
(«1 g/i + a2y2, ö ■a1y1 + ö ■ a2yß den E. T. (1) hat. Gleichfalls
aus Satz 3 folgt umgekehrt: Hat 3)2 den Rang 1 und den E. T. e,
so besteht 3)2 gerade aus allen den Formen von 3)2, die lauter durch e
teilbare Koeffizienten besitzen.
18) Eine Summendarstellung durch völlig unabhängige Summanden ist
im Sinne der verallgemeinerten Abelschen Gruppen eine spezielle direkte
Summendarstellung.
19) Die Sätze von § 9 finden sich alle in St. II, vgl. insbesondere: § 6,
No. 36 — 38, 40, sowie § 8 Nr. 64.
20) Die Worte „größer“ und „kleiner“ sind stets im mengentheoretischen
Sinne zu verstehen.