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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0032
32
Wolfgang Krull:
932' dieselbe Klasse wie 931 besitzen muß 22). — Es sei nun weiter 931
ein Grundmodul vom beliebigen Range r, und es sei (Z15 . . . Zr+1) eine
r + 1 gliedrige Basis von 932, die die charakteristischen Eigenschaften
der Normalbasis besitzt, bei der also Z15 . . . Zr_x linear unabhängig
und lr und Zr+1 proportional sind. Dann muß 932x = (Zx, . . . Zz_x)
gleichzeitig mit 932 Grundmodul sein, und da 932x nur den Rang
r— 1 hat und offenbar zu (rq, . . . isomorph ist, dürfen wir
nach dem, was über einrangige Grundmoduln bereits bewiesen
wurde, die Induktionsvoraussetzung machen, daß 932x ebenso wie
(rr-t, . . . die Klasse Ko besitzt23). Daraus folgt nach Satz 15,
daß, (bei geeigneter Wahl der ?/£), Zx = t/x, . . . lr_x = yr_1 wird.
Setzen wir weiter Zz = + • • • + anyn, Z/+1 = <5 • Zr, so ist
(«z, uz+1, . . . an, ö ■ ar, ö ■ ar+1, ... ö ■ an) gleich dem höchsten D. T.
von 932, d. h. gleich (1), und es hat («z, ar+1, . . . an) dieselbe Klasse
wie 932. Nach den beim einrangigen Fall ausgeführten Schlüssen
ist also die Klasse von 932 eindeutig bestimmt durch die zwischen
lr und lr+1 = ö ■ lr bestehenden Relationen und somit auch gleich
der Klasse jedes zu 932 isomorphen Grundmoduls 932'.
Haben umgekehrt zwei Grundmoduln 932 und 932' den gleichen
Rang und die gleiche Klasse, so müssen sie isomorph sein, weil
wir ihre Normalbasen so wählen können, daß sie sich nur durch
die benutzten Variabeinreihen, nicht aber durch die auftretenden
Koeffizienten unterscheiden. Im ganzen gilt daher:
Satz 16. Zwei Grundmoduln 932 und 932' sind dann und nur dann
isomorph, wenn sie gleichen Rang und gleiche Klasse besitzen.
Die gruppentheoretische Bedeutung von Satz 16 wird in § 11
ausführlich gewürdigt werden. Auch die folgenden Betrachtungen
sollen im wesentlichen den Beweis eines Theorems von § 11 vor-
bereiten.
Satz 17. Ist 932 ein beliebige?' Grundmodul, und bedeutet 932* den
Gesamtmodul aller Formen in xx, . . . xn, so kann man zu 932 einen
bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten „komplementären“ Grund-
22) Hier wäre es nützlich gewesen für den Augenblick die Kolonnenklasse
und Satz 7 heranzuziehen. Denn (a, b) ist gerade die Kolonnenklasse von 932.
23) Die Richtigkeit dieser Tatsache könnte man auch ohne Isomorphie-
betrachtung und Induktionsbeweis mit Hilfe der Kolonnenklasse einsehen.
Wolfgang Krull:
932' dieselbe Klasse wie 931 besitzen muß 22). — Es sei nun weiter 931
ein Grundmodul vom beliebigen Range r, und es sei (Z15 . . . Zr+1) eine
r + 1 gliedrige Basis von 932, die die charakteristischen Eigenschaften
der Normalbasis besitzt, bei der also Z15 . . . Zr_x linear unabhängig
und lr und Zr+1 proportional sind. Dann muß 932x = (Zx, . . . Zz_x)
gleichzeitig mit 932 Grundmodul sein, und da 932x nur den Rang
r— 1 hat und offenbar zu (rq, . . . isomorph ist, dürfen wir
nach dem, was über einrangige Grundmoduln bereits bewiesen
wurde, die Induktionsvoraussetzung machen, daß 932x ebenso wie
(rr-t, . . . die Klasse Ko besitzt23). Daraus folgt nach Satz 15,
daß, (bei geeigneter Wahl der ?/£), Zx = t/x, . . . lr_x = yr_1 wird.
Setzen wir weiter Zz = + • • • + anyn, Z/+1 = <5 • Zr, so ist
(«z, uz+1, . . . an, ö ■ ar, ö ■ ar+1, ... ö ■ an) gleich dem höchsten D. T.
von 932, d. h. gleich (1), und es hat («z, ar+1, . . . an) dieselbe Klasse
wie 932. Nach den beim einrangigen Fall ausgeführten Schlüssen
ist also die Klasse von 932 eindeutig bestimmt durch die zwischen
lr und lr+1 = ö ■ lr bestehenden Relationen und somit auch gleich
der Klasse jedes zu 932 isomorphen Grundmoduls 932'.
Haben umgekehrt zwei Grundmoduln 932 und 932' den gleichen
Rang und die gleiche Klasse, so müssen sie isomorph sein, weil
wir ihre Normalbasen so wählen können, daß sie sich nur durch
die benutzten Variabeinreihen, nicht aber durch die auftretenden
Koeffizienten unterscheiden. Im ganzen gilt daher:
Satz 16. Zwei Grundmoduln 932 und 932' sind dann und nur dann
isomorph, wenn sie gleichen Rang und gleiche Klasse besitzen.
Die gruppentheoretische Bedeutung von Satz 16 wird in § 11
ausführlich gewürdigt werden. Auch die folgenden Betrachtungen
sollen im wesentlichen den Beweis eines Theorems von § 11 vor-
bereiten.
Satz 17. Ist 932 ein beliebige?' Grundmodul, und bedeutet 932* den
Gesamtmodul aller Formen in xx, . . . xn, so kann man zu 932 einen
bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten „komplementären“ Grund-
22) Hier wäre es nützlich gewesen für den Augenblick die Kolonnenklasse
und Satz 7 heranzuziehen. Denn (a, b) ist gerade die Kolonnenklasse von 932.
23) Die Richtigkeit dieser Tatsache könnte man auch ohne Isomorphie-
betrachtung und Induktionsbeweis mit Hilfe der Kolonnenklasse einsehen.