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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0034
34
Wolfgang Krull:
schließlich möge für die Restklassen Addition und Multiplikation
mit Elementen aus 53 definiert werden durch die Festsetzungen:
l + m = l — m, a -l == a ■ l. Die Gesamtheit aller Restklassen
bildet dann eine verallgemeinerte Abelsche Gruppe 21 =
mit dem Multiplikatorenbereich 53, die ,,Restgruppe von 3)1* nach
24).
Als Ordnung des Elementes l aus 21 bezeichnen wir das Ideal
aller der a aus 53, für die a ■ l gleich der Nullklasse Ö wird. Die Ge-
samtheit aller der Restklassen, deren Ordnung vom Nullideal
verschieden ist, bildet eine ausgezeichnete' Untergruppe ß von 21
und aus der Definition des Grundmoduls 3k folgt sofort: ß ist gleich
dem System d. h. ß besteht aus allen und nur den Restklassen,
die durch Elemente aus 331 repräsentiert werden können. ß = 3k/3k
soll kurz „die endliche Restgruppe von 3)1“ genannt werden. Bei der
genaueren Untersuchung von ß benutzen wir den gruppentheo-
retischen Begriff der direkten Summe 2(x + 2(2 -y • • • -k 2(s und
außerdem folgende Definitionen:
Eine Untergruppe 3 — (Z) von ß heißt zyklisch mit dem er-
zeugenden Element Z, wenn 3 gerade aus allen Vielfachen a ■ l
von l besteht; die gemeinsame Ordnung aller erzeugenden Elemente
von 3 wird auch als Ordnung von 3 bezeichnet. Schließlich soll eine
direkte Summendarstellung ß = 3X -j- • • • -j- 3S von ® durch
zyklische Untergruppen ausgezeichnet heißen, wenn kein 3i gleich
der Nullgruppe ist, und wenn außerdem die Ordnung ai+1 von 3<+i
stets ein Vielfaches der Ordnung cp von 3i darstellt.
Eine zyklische Gruppe 3 ist dann und nur dann gleich der
Nullgruppe, wenn sie die Ordnung (1) besitzt, zwei zyklische Gruppen
mit gleicher Ordnung sind stets isomorph. Ferner zeigt man genau
so wie bei den gewöhnlichen endlichen AßELschen Gruppen: Sind
ß = 31 + • • • + 3s = 3i + " • + 3s' zwei ausgezeichnete Dar-
stellungen von ß, so ist s — s' und es haben 3; und 3; jeweils die
gleiche Ordnung, ß ist daher durch die Ordnungen der zyklischen
Summanden einer ausgezeichneten Darstellung bis auf Isomorphie
24) Die folgenden Restgruppensätze können unmittelbar aus v. d. W. II,
§ 107 entnommen werden. Man hat sich nur zu überlegen, daß man bei der
Untersuchung von 9k/9k anstelle von SB den Hauptidealring SB® als Multiplika-
torenbereich einführen kann, falls ® den höchsten D • T • von 9k bedeutet
(vgl. die Bemerkung am Schlüsse von § 11). — Statt von der „Ordnung
eines Elementes (einer Bezeichnung, die auch Steinitz benutzt), redet
v. d. Waerden von dem „annullierenden Ideal“.
Wolfgang Krull:
schließlich möge für die Restklassen Addition und Multiplikation
mit Elementen aus 53 definiert werden durch die Festsetzungen:
l + m = l — m, a -l == a ■ l. Die Gesamtheit aller Restklassen
bildet dann eine verallgemeinerte Abelsche Gruppe 21 =
mit dem Multiplikatorenbereich 53, die ,,Restgruppe von 3)1* nach
24).
Als Ordnung des Elementes l aus 21 bezeichnen wir das Ideal
aller der a aus 53, für die a ■ l gleich der Nullklasse Ö wird. Die Ge-
samtheit aller der Restklassen, deren Ordnung vom Nullideal
verschieden ist, bildet eine ausgezeichnete' Untergruppe ß von 21
und aus der Definition des Grundmoduls 3k folgt sofort: ß ist gleich
dem System d. h. ß besteht aus allen und nur den Restklassen,
die durch Elemente aus 331 repräsentiert werden können. ß = 3k/3k
soll kurz „die endliche Restgruppe von 3)1“ genannt werden. Bei der
genaueren Untersuchung von ß benutzen wir den gruppentheo-
retischen Begriff der direkten Summe 2(x + 2(2 -y • • • -k 2(s und
außerdem folgende Definitionen:
Eine Untergruppe 3 — (Z) von ß heißt zyklisch mit dem er-
zeugenden Element Z, wenn 3 gerade aus allen Vielfachen a ■ l
von l besteht; die gemeinsame Ordnung aller erzeugenden Elemente
von 3 wird auch als Ordnung von 3 bezeichnet. Schließlich soll eine
direkte Summendarstellung ß = 3X -j- • • • -j- 3S von ® durch
zyklische Untergruppen ausgezeichnet heißen, wenn kein 3i gleich
der Nullgruppe ist, und wenn außerdem die Ordnung ai+1 von 3<+i
stets ein Vielfaches der Ordnung cp von 3i darstellt.
Eine zyklische Gruppe 3 ist dann und nur dann gleich der
Nullgruppe, wenn sie die Ordnung (1) besitzt, zwei zyklische Gruppen
mit gleicher Ordnung sind stets isomorph. Ferner zeigt man genau
so wie bei den gewöhnlichen endlichen AßELschen Gruppen: Sind
ß = 31 + • • • + 3s = 3i + " • + 3s' zwei ausgezeichnete Dar-
stellungen von ß, so ist s — s' und es haben 3; und 3; jeweils die
gleiche Ordnung, ß ist daher durch die Ordnungen der zyklischen
Summanden einer ausgezeichneten Darstellung bis auf Isomorphie
24) Die folgenden Restgruppensätze können unmittelbar aus v. d. W. II,
§ 107 entnommen werden. Man hat sich nur zu überlegen, daß man bei der
Untersuchung von 9k/9k anstelle von SB den Hauptidealring SB® als Multiplika-
torenbereich einführen kann, falls ® den höchsten D • T • von 9k bedeutet
(vgl. die Bemerkung am Schlüsse von § 11). — Statt von der „Ordnung
eines Elementes (einer Bezeichnung, die auch Steinitz benutzt), redet
v. d. Waerden von dem „annullierenden Ideal“.