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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0035
Matrizen, Moduln und verallgemeinerte Abelsche Gruppen usw.
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eindeutig bestimmt. — Legt man nun für 3k bzw. 3k die Normal-
basis von Satz 13 bzw. Satz 15 zugrunde, und setzt man 3» = (yj
(i — 1,. • • r— 1), Br = (<5 • arVr + <5 • «r+i ?/r+i), so ergibt sich sofort:
3. hat die Ordnung ez, und es wird U = 3, + 3S+1 + • • • + 3r
eine ausgezeichnete Darstellung von 0, falls ex = • • • = es_1 = (1),
e + (1). Die endliche Restgruppe 0 ist also durch die von (1)
verschiedenen E. T. von 3k bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt,
d.h.: Die Moduln 3k und 3k' haben dann und nur dann isomorphe
endliche Restgruppen 0 und G', wenn sie die gleichen von (1) ver-
schiedenen E. T. besitzen.
Wir wollen die Moduln 3k und 3k' äquivalent nennen, wenn die
-— selbstverständlich durch eine «-Transformation (y) = P • (x)
verbundenen — Variabeinreihen +, . . . xn und yx, . . . yn so be-
stimmt werden können, daß 3k in den xk genau dieselben Formen
enthält wie 3k' in den yk. Bedeutet A bzw. B irgendeine ^-zugehörige
Matrix von 3k bzw. 3k', so sind 3k und 3k' offenbar dann und nur dann
äquivalent, wenn die Matrizen 5, P so gewählt werden können,
daß P unimodular vom n-ten Grade ist, und daß die Gleichungen
RAP 1 = 2?, SBP = A gelten. Aus dieser Bemerkung und aus
den Sätzen 11 und 12 ergibt sich, gewissermaßen als Gegenstück
zu Satz 13:
Satz 18. Die Moduln 3k und 3k' sind dann und nur dann äqui-
valent, wenn sie gleiche E. T. und gleiche Klasse besitzen.
Die Gesamtheit der E. T. eines Moduls ist durch seinen Rang
und durch die Menge der von (1) verschiedenen E. T. eindeutig be-
stimmt: Die Verbindung der Isomorphiesätze von § 9 und § 10
mit Satz 18 liefert daher:
Satz 19. Die Moduln 3k und 3k' sind dann und nur dann äqui-
valent, wenn sie isomorphe endliche Restgruppen und isomorphe Grund-
moduln besitzen.
§ 11- V erallgemeinerte Abelsclie Gruppen mit Obergruppensatz 25).
Die Ergebnisse von § 9 und § 10 sollen noch zu einigen Unter-
suchungen über abstrakte verallgemeinerte AßELsche Gruppen
mit dem Multiplikatorenbereich iß benutzt werden. Wir sagen,
in einer derartigen Gruppe 31 gelte der O-Satz bzw. U-Satz (Ober-
gruppensatz bzw. Untergruppensatz), wenn eine aus 91 heraus-
25) Vgl. zu diesem Paragraphen: St. II, § 8. Steinitz spricht von „idealen
Systemen“, statt von „verallgemeinerten Abelschen Gruppen“.
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eindeutig bestimmt. — Legt man nun für 3k bzw. 3k die Normal-
basis von Satz 13 bzw. Satz 15 zugrunde, und setzt man 3» = (yj
(i — 1,. • • r— 1), Br = (<5 • arVr + <5 • «r+i ?/r+i), so ergibt sich sofort:
3. hat die Ordnung ez, und es wird U = 3, + 3S+1 + • • • + 3r
eine ausgezeichnete Darstellung von 0, falls ex = • • • = es_1 = (1),
e + (1). Die endliche Restgruppe 0 ist also durch die von (1)
verschiedenen E. T. von 3k bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt,
d.h.: Die Moduln 3k und 3k' haben dann und nur dann isomorphe
endliche Restgruppen 0 und G', wenn sie die gleichen von (1) ver-
schiedenen E. T. besitzen.
Wir wollen die Moduln 3k und 3k' äquivalent nennen, wenn die
-— selbstverständlich durch eine «-Transformation (y) = P • (x)
verbundenen — Variabeinreihen +, . . . xn und yx, . . . yn so be-
stimmt werden können, daß 3k in den xk genau dieselben Formen
enthält wie 3k' in den yk. Bedeutet A bzw. B irgendeine ^-zugehörige
Matrix von 3k bzw. 3k', so sind 3k und 3k' offenbar dann und nur dann
äquivalent, wenn die Matrizen 5, P so gewählt werden können,
daß P unimodular vom n-ten Grade ist, und daß die Gleichungen
RAP 1 = 2?, SBP = A gelten. Aus dieser Bemerkung und aus
den Sätzen 11 und 12 ergibt sich, gewissermaßen als Gegenstück
zu Satz 13:
Satz 18. Die Moduln 3k und 3k' sind dann und nur dann äqui-
valent, wenn sie gleiche E. T. und gleiche Klasse besitzen.
Die Gesamtheit der E. T. eines Moduls ist durch seinen Rang
und durch die Menge der von (1) verschiedenen E. T. eindeutig be-
stimmt: Die Verbindung der Isomorphiesätze von § 9 und § 10
mit Satz 18 liefert daher:
Satz 19. Die Moduln 3k und 3k' sind dann und nur dann äqui-
valent, wenn sie isomorphe endliche Restgruppen und isomorphe Grund-
moduln besitzen.
§ 11- V erallgemeinerte Abelsclie Gruppen mit Obergruppensatz 25).
Die Ergebnisse von § 9 und § 10 sollen noch zu einigen Unter-
suchungen über abstrakte verallgemeinerte AßELsche Gruppen
mit dem Multiplikatorenbereich iß benutzt werden. Wir sagen,
in einer derartigen Gruppe 31 gelte der O-Satz bzw. U-Satz (Ober-
gruppensatz bzw. Untergruppensatz), wenn eine aus 91 heraus-
25) Vgl. zu diesem Paragraphen: St. II, § 8. Steinitz spricht von „idealen
Systemen“, statt von „verallgemeinerten Abelschen Gruppen“.