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https://doi.org/10.11588/diglit.43639#0009
Über die nichteuklidischen regulären Polyeder
9
von 2% so wird die Ebene ganz überdeckt. Es tritt dies ein in den
Fällen 3, 4, 6 und unendlich.
Auch im Fall des Ikosaeders lassen sich die Figuren auseinander
konstruieren es tritt aber keine Überdeckung der Ebene ein.
Allgemeine Beziehungen zwischen vier Punkten.
Die Zuordnung der allgemeinen Dreiecke beruht auf einem
Gesetz, das zu drei Punkten der einen Geometrie drei der
andern bestimmt. Liegen sie in der einen Ebene in einer Geraden,
so ist dies in der andern nicht mehr der Fall. Entsprechendes läßt
sich auch für vier Punkte zeigen. Liegen sie in dem einen Raum
in einer Ebene, so tun sie dies nicht in dem andern. Die Strecken-
gleichung ist wieder Gleichung 1. Die andere ergibt sich dadurch,
daß man die Diagonale eines Vierecks zweimal ausdrückt und die
Seiten aus der andern Geometrie einführt.
cos cos b1 + sin ar sin b± cos Ar = cos c± cos dr + sin cx sin cos C1
1 1
+ th a • th b cos A-, = -+ thcthd cos C-,
ch a chb ch c ch d
chc-chd—shc- shd' cha> chb cosC^chachb—sha shb ehe chd cos Ax
Setzt man: ch a • chb cos Cr = cos C u. ch c • ch d cos Ar — cos A,
so folgt die Gleich, für ein hyp. Viereck:
ehe chd — shc shd cos A — ch a ch b — sh a sh b cos C.
Die Winkelbezeichnung lautet also:
, cosA, , cosA
cos A =-u. cos A. =-y-,
cos cr cos dt ch c ch d
Der Kosinus eines Viereckswinkels ist also durch das Produkt
der Kosinus der gegenüber liegenden Seiten zu dividieren, um den
Kosinus der Seite in der andern Geometrie zu erhalten.
§ 5. Geometrische Zusammenhänge.
Der Unterschied zwischen den Bereichen der sph. und hyp.
Gebilde läßt sich leicht durch folgende Betrachtung überblicken,
die man an den Polygonen anstellen kann. Die sph. Ebene werde
dargestellt durch eine im hyp. Raum liegende Kugel shr = i.
Das größte sph. n = Eck besteht dann aus dem in n Teile geteilten
Äquator, die halbe Seite ist also . Betrachten wir die sph.
Za Yl
Gerade als Kreis der hyp. Ebene und legen um ihn das umbe-
schriebene n-Eck, so ist:
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von 2% so wird die Ebene ganz überdeckt. Es tritt dies ein in den
Fällen 3, 4, 6 und unendlich.
Auch im Fall des Ikosaeders lassen sich die Figuren auseinander
konstruieren es tritt aber keine Überdeckung der Ebene ein.
Allgemeine Beziehungen zwischen vier Punkten.
Die Zuordnung der allgemeinen Dreiecke beruht auf einem
Gesetz, das zu drei Punkten der einen Geometrie drei der
andern bestimmt. Liegen sie in der einen Ebene in einer Geraden,
so ist dies in der andern nicht mehr der Fall. Entsprechendes läßt
sich auch für vier Punkte zeigen. Liegen sie in dem einen Raum
in einer Ebene, so tun sie dies nicht in dem andern. Die Strecken-
gleichung ist wieder Gleichung 1. Die andere ergibt sich dadurch,
daß man die Diagonale eines Vierecks zweimal ausdrückt und die
Seiten aus der andern Geometrie einführt.
cos cos b1 + sin ar sin b± cos Ar = cos c± cos dr + sin cx sin cos C1
1 1
+ th a • th b cos A-, = -+ thcthd cos C-,
ch a chb ch c ch d
chc-chd—shc- shd' cha> chb cosC^chachb—sha shb ehe chd cos Ax
Setzt man: ch a • chb cos Cr = cos C u. ch c • ch d cos Ar — cos A,
so folgt die Gleich, für ein hyp. Viereck:
ehe chd — shc shd cos A — ch a ch b — sh a sh b cos C.
Die Winkelbezeichnung lautet also:
, cosA, , cosA
cos A =-u. cos A. =-y-,
cos cr cos dt ch c ch d
Der Kosinus eines Viereckswinkels ist also durch das Produkt
der Kosinus der gegenüber liegenden Seiten zu dividieren, um den
Kosinus der Seite in der andern Geometrie zu erhalten.
§ 5. Geometrische Zusammenhänge.
Der Unterschied zwischen den Bereichen der sph. und hyp.
Gebilde läßt sich leicht durch folgende Betrachtung überblicken,
die man an den Polygonen anstellen kann. Die sph. Ebene werde
dargestellt durch eine im hyp. Raum liegende Kugel shr = i.
Das größte sph. n = Eck besteht dann aus dem in n Teile geteilten
Äquator, die halbe Seite ist also . Betrachten wir die sph.
Za Yl
Gerade als Kreis der hyp. Ebene und legen um ihn das umbe-
schriebene n-Eck, so ist: