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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0005
Abstrakte Geometrie und Anschauung.
5
5. Zwei Winkel mit paarweise (gleichsinnig oder ungleichsinnig)
parallelen Schenkeln heißen nach Definition (Art. 142) gleich und
sind kongruent. Denn sind a, b mit dem Schnittpunkt 0 die Schenkel
oder Halbstrahlen des einen Winkels, A, b', mit dem Schnittpunkt
O' die des andern und sind u) a und a', b und b' ungleichsinnig
parallel, so kann man die Winkel durch eine Drehung der Ebene
um den Mittelpunkt M von 00' zur Deckung bringen. Sind b} die
Schenkelpaare gleichsinnig parallel, so kann man durch dieselbe
Drehung den einen Winkel mit dem Scheitelwinkel des andern und
dann nach II. 2. auch mit diesem Winkel selbst zur Deckung bringen.
III. Aufgaben in der Orthogonalgeometrie.
1. Kreispunkte und Kongruenz aller rechten Winkel. Im Sinne
der Anschauung, d. h. auf Grund der Kongruenzaxiome, ist a I a',
wenn durch Drehung der Ebene um den Schnittpunkt 0 von a
und a' sich a und a' miteinander vertauschen lassen. Sind nun
«, Z>, c, . . . _L a', b', c', . . zwei konzentrische Büschel in 0, so vertau-
schen sich bei geeigneter Drehung um 0 alle ungestrichenen Strahlen
mit den gestrichenen. Man hat also im Büschel 0 eine Paarung aller
Strahlen. Die beiden Einzelbüschel sind aber projektiv, weil durch
Drehung das eine Büschel mit dem andern zur Deckung zu bringen
ist. Also liegt eine Involution vor und zwar eine elliptische, weil
bei der ursprünglichen Lage kein Strahl mit seinem entsprechenden
zusammenfällt. Die imaginären Doppelstrahlen mögen mit i2,
ihre uneigentlichen Punkte mit Zx, Z2 und als ,,Kreispunkte“ be-
zeichnet werden. — Nun definiert man in der abstrakten Geometrie
allgemein (Art. 52): Sind r, s zwei Gerade mit beliebigem eigent-
lichem Schnittpunkt P und den uneigentlichen Punkten Ru, Su,
so heißt r | s, wenn Ru, Su harmonisch zu Z2. Dann ist aber
nach II. 5. <£ (rs) ss dem Winkel zweier orthogonalen Strahlen
in 0; d. h. r I 5 im Sinne der Anschauung oder: Alle rechten Winkel
sind kongruent. Zugleich folgt die Unabhängigkeit der Kreispunkte
von dem gewählten Ausgangspunkt 0 und: Die Bewegung der in
sich starren Ebene ist eine solche Kollineation, bei der das Kreis-
punktepaar invariant bleibt, d. h. eine äquiforme Transformation.
2. Die Mittellinien mx, m2 zweier nicht parallelen Geraden a, b
mit dem eigentlichen Schnittpunkt 0 sind nach Definition (Art. 52)
zwei orthogonale und zu a, b harmonische Strahlen durch 0. Ist
nun 5 | mr, also || m2, so sind die Schnittpunkte AB, MSU von 5
mit a, b, m±, m2 harmonisch, wobei der uneigentliche Punkt
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5. Zwei Winkel mit paarweise (gleichsinnig oder ungleichsinnig)
parallelen Schenkeln heißen nach Definition (Art. 142) gleich und
sind kongruent. Denn sind a, b mit dem Schnittpunkt 0 die Schenkel
oder Halbstrahlen des einen Winkels, A, b', mit dem Schnittpunkt
O' die des andern und sind u) a und a', b und b' ungleichsinnig
parallel, so kann man die Winkel durch eine Drehung der Ebene
um den Mittelpunkt M von 00' zur Deckung bringen. Sind b} die
Schenkelpaare gleichsinnig parallel, so kann man durch dieselbe
Drehung den einen Winkel mit dem Scheitelwinkel des andern und
dann nach II. 2. auch mit diesem Winkel selbst zur Deckung bringen.
III. Aufgaben in der Orthogonalgeometrie.
1. Kreispunkte und Kongruenz aller rechten Winkel. Im Sinne
der Anschauung, d. h. auf Grund der Kongruenzaxiome, ist a I a',
wenn durch Drehung der Ebene um den Schnittpunkt 0 von a
und a' sich a und a' miteinander vertauschen lassen. Sind nun
«, Z>, c, . . . _L a', b', c', . . zwei konzentrische Büschel in 0, so vertau-
schen sich bei geeigneter Drehung um 0 alle ungestrichenen Strahlen
mit den gestrichenen. Man hat also im Büschel 0 eine Paarung aller
Strahlen. Die beiden Einzelbüschel sind aber projektiv, weil durch
Drehung das eine Büschel mit dem andern zur Deckung zu bringen
ist. Also liegt eine Involution vor und zwar eine elliptische, weil
bei der ursprünglichen Lage kein Strahl mit seinem entsprechenden
zusammenfällt. Die imaginären Doppelstrahlen mögen mit i2,
ihre uneigentlichen Punkte mit Zx, Z2 und als ,,Kreispunkte“ be-
zeichnet werden. — Nun definiert man in der abstrakten Geometrie
allgemein (Art. 52): Sind r, s zwei Gerade mit beliebigem eigent-
lichem Schnittpunkt P und den uneigentlichen Punkten Ru, Su,
so heißt r | s, wenn Ru, Su harmonisch zu Z2. Dann ist aber
nach II. 5. <£ (rs) ss dem Winkel zweier orthogonalen Strahlen
in 0; d. h. r I 5 im Sinne der Anschauung oder: Alle rechten Winkel
sind kongruent. Zugleich folgt die Unabhängigkeit der Kreispunkte
von dem gewählten Ausgangspunkt 0 und: Die Bewegung der in
sich starren Ebene ist eine solche Kollineation, bei der das Kreis-
punktepaar invariant bleibt, d. h. eine äquiforme Transformation.
2. Die Mittellinien mx, m2 zweier nicht parallelen Geraden a, b
mit dem eigentlichen Schnittpunkt 0 sind nach Definition (Art. 52)
zwei orthogonale und zu a, b harmonische Strahlen durch 0. Ist
nun 5 | mr, also || m2, so sind die Schnittpunkte AB, MSU von 5
mit a, b, m±, m2 harmonisch, wobei der uneigentliche Punkt