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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0044
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Friedrich Karl Schmidt:
nition den Zerlegungs- bzw. Trägheitskörper jedes in N enthaltenen
endlichen Normalkörpers M/k umfaßt. Um es auch für d) einzu-
sehen, überlege man: Sind für f = 1, 2 die Trägheitskörper aus
den in N enthaltenen Normalkörpern Mjk, so gehört der Vereini-
gungskörper TxT2 gemäß der gruppentheoretischen Definition des
Trägheitskörpers dem Trägheitskörper des Normalkörpers M^M^k
an. Jedes Element des Trägheitskörpers aus N liegt also in dem
Trägheitskörper eines endlichen Tf, und daher überträgt sich
wirklich auch d).
Bedeutet N = N insbesondere den kleinsten separabel-alge-
braisch abgeschlossenen Oberkörper von &, der ja sicher einen sepa-
rabel algebraischen Normalkörper über k darstellt, und W eine Be-
wertung von 2V, so erhält man aus a):
Satz 1. Ein separabel-algebraische Oberkörper K von k ist
dann und nur dann sep ar ab el-algebraisch perfekt bezüglich JE, wenn
N
K den Zerlegungskörper von Wjk enthält.
N
Folgerung. Ist K hinsichtlich W_ sep ar ab el-algebraisch perfekt,
N
so ist auch jeder separabel algebraische Oberkörper von K hinsichtlich
W_ separabel-algebraisch perfekt.
Ist ferner w wieder die durch JE induzierte Bewertung von
N
k, so ergeben Satz 1 und b):
Satz 2. Ist k hinsichtlich w nicht separabel-algebraisch perfekt,
während der separabel-algebraische Oberkörper K hinsichtlich
separabel-algebraisch perfekt ist, so besitzt w mindestens zwei in-
äquivalente Fortsetzungen auf K {sogar schon auf einen geeigneten
in K enthaltenen Oberkörper K' endlichen Grades über k).
7. Weitere Sätze. Die drei folgenden Sätze fließen alle
aus einem gemeinsamen Lemma, das seinerseits nichts anderes als
eine einfache Folge aus einem kürzlich von mir bewiesenen Er-
gebnisse darstellt13). Zur bequemeren Formulierung dieses Lemmas
schreibe ich allgemein zwei Polynomen G(x) und H(x) über einem
beliebigen Körper K denselben Zerlegungstypus zu, wenn G(x)
und H(x) über K in gleich viele verschiedene Primfaktoren zer-
fallen,
G(x) = P^x)^ . . . Pr{x)mr,
H{x) = Q^x)^. . . Qr{x)m\
und wenn außerdem bei geeigneter Nummerierung die Grade von
13) loc. eit. 6), § 3.
Friedrich Karl Schmidt:
nition den Zerlegungs- bzw. Trägheitskörper jedes in N enthaltenen
endlichen Normalkörpers M/k umfaßt. Um es auch für d) einzu-
sehen, überlege man: Sind für f = 1, 2 die Trägheitskörper aus
den in N enthaltenen Normalkörpern Mjk, so gehört der Vereini-
gungskörper TxT2 gemäß der gruppentheoretischen Definition des
Trägheitskörpers dem Trägheitskörper des Normalkörpers M^M^k
an. Jedes Element des Trägheitskörpers aus N liegt also in dem
Trägheitskörper eines endlichen Tf, und daher überträgt sich
wirklich auch d).
Bedeutet N = N insbesondere den kleinsten separabel-alge-
braisch abgeschlossenen Oberkörper von &, der ja sicher einen sepa-
rabel algebraischen Normalkörper über k darstellt, und W eine Be-
wertung von 2V, so erhält man aus a):
Satz 1. Ein separabel-algebraische Oberkörper K von k ist
dann und nur dann sep ar ab el-algebraisch perfekt bezüglich JE, wenn
N
K den Zerlegungskörper von Wjk enthält.
N
Folgerung. Ist K hinsichtlich W_ sep ar ab el-algebraisch perfekt,
N
so ist auch jeder separabel algebraische Oberkörper von K hinsichtlich
W_ separabel-algebraisch perfekt.
Ist ferner w wieder die durch JE induzierte Bewertung von
N
k, so ergeben Satz 1 und b):
Satz 2. Ist k hinsichtlich w nicht separabel-algebraisch perfekt,
während der separabel-algebraische Oberkörper K hinsichtlich
separabel-algebraisch perfekt ist, so besitzt w mindestens zwei in-
äquivalente Fortsetzungen auf K {sogar schon auf einen geeigneten
in K enthaltenen Oberkörper K' endlichen Grades über k).
7. Weitere Sätze. Die drei folgenden Sätze fließen alle
aus einem gemeinsamen Lemma, das seinerseits nichts anderes als
eine einfache Folge aus einem kürzlich von mir bewiesenen Er-
gebnisse darstellt13). Zur bequemeren Formulierung dieses Lemmas
schreibe ich allgemein zwei Polynomen G(x) und H(x) über einem
beliebigen Körper K denselben Zerlegungstypus zu, wenn G(x)
und H(x) über K in gleich viele verschiedene Primfaktoren zer-
fallen,
G(x) = P^x)^ . . . Pr{x)mr,
H{x) = Q^x)^. . . Qr{x)m\
und wenn außerdem bei geeigneter Nummerierung die Grade von
13) loc. eit. 6), § 3.